szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2008, o 00:53 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: z Polski
Uzasadnij, że wśród każdych kolejnych 18 liczb naturalnych trzycyfrowych istnieje liczba, która jest podzielna przez sumę swoich cyfr.

Mam problem z tym zadankiem i nie wiem jak się zabrać do tego :/
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 lut 2008, o 03:33 
Użytkownik

Posty: 1274
Idea byłaby taka:

A. Udowodnij, że wśród osiemnastu kolejnych liczb jest dokładnie jedna liczba podzielna przez 18.

B. Udowodnij, że wśród osiemnastu kolejnych liczb trzycyfrowych jest przynajmniej jedna liczba, której suma cyfr jest równa 9 lub 18 i tym samym ta suma dzieli 18.

Wykorzystaj cechę podzielności przez dziewięć, aby stwierdzić, że liczba z punktu A. jest jedną z liczb z punktu B.

Wykorzystaj przechodniość podzielności - jeżeli a|b i b|c, to a|c.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2008, o 17:26 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: z Polski
A może mi ktoś pokazać jak udowodnić punkt B??
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 lut 2008, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 1274
W zasadzie nie trzeba tak naokoło.

1. Zwiększenie liczby o jeden zwiększa jej resztę o jeden. Reszt z dzielenia przez 18 jest 18, kolejnych liczb też jest 18, więc któraś liczba daje resztę równą 0. Niech tą liczbą będzie \overline{abc}.

2. Ponieważ 18|\overline{abc}, to również 9|\overline{abc}, ale wtedy (cecha podzielności przez 9) także 9|(a+b+c). Ponieważ 1+0+0\le a+b+c\le 9+9+9, więc może być tylko a+b+c=9,18,27, ale 18\not{|}999, więc może być tylko a+b+c=9,18, stąd (a+b+c)|18 i 18|\overline{abc}, więc (a+b+c)|\overline{abc}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lut 2008, o 01:04 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: z Polski
Wielkie dzięki. :cool: :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl