szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 lut 2008, o 11:33 
Użytkownik

Posty: 78
Lokalizacja: Warszawa
Mam sobie taki ciąg rekurencyjny

x_{1} = 4

x_{n}=\sqrt{1+2x_{n-1}} \\\ dla n>1

i chce wykazać jego monotoniczność ale przez indukcję matematyczną.

Byłabym wdzięczna za jakąś podpowiedź, bo liczę coś ale jakoś mi się średnio to podoba
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2008, o 14:25 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Pokażemy najpierw (indukcyjnie), że liczba 1+\sqrt{2} ogranicza z dołu wyrazy ciągu (x_n)_{n\in\mathbb{N}}.
Istotnie, x_1=4>1+\sqrt{2}. Załóżmy, że x_k\geq 1+\sqrt{2} dla k\geq 1. Wówczas x_{k+1}=\sqrt{1+2x_{k}}, więc w myśl założenia indukcyjnego mamy x_{k+1}\geq\sqrt{1+2+2\sqrt{2}}=\sqrt{1+2\sqrt{2}+2}=1+\sqrt{2}, co na mocy zasady indukcji dowodzi ograniczoności z dołu ciągu (x_n)_{n\in\mathbb{N}}, tzn.x_n\geq 1+\sqrt{2} dla każdego n\in\mathbb{N}.
Wykażemy teraz monotoniczność ciągu (x_n)_{n\in\mathbb{N}}.
Weźmy dowolne n\in\mathbb{N}. Wtedy z powyższego oszacowania mamy
x_{n+1}^2-x_n^2=1+2x_n-x_n^2=(1-x_n)(1+x_n)+2x_n\leq -(1+x_n)\sqrt{2}+2x_n=-x_n(\sqrt{2}-2)-\sqrt{2}\leq -(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-2)-\sqrt{2}=0.
Zatem x_{n+1}^2\leq x_n^2. Ponieważ x_k>0 dla każdego k\in\mathbb{N}, to pierwiastkując stronami otrzymaną nierówność wobec dowolności wyboru liczby naturalnej n dostajemy, że (x_n)_{n\in\mathbb{N}} jest ciągiem malejącym.
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 lut 2008, o 14:29 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: lodz
Ciag wyglada na malejacy Ja bym to zrobil mniej wiecej w ten sposob:
Zal:
x_{n}
Teza:
x_{n+1}
Dowod:
x_{n+1}
\sqrt{1+2x_{n}}< \sqrt{1+2x_{n-1}}
1+2x_{n}
2x_{n}
x_{n}, co jest prawdziwe na mocy zalozenia
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lut 2008, o 22:04 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Chorzów
Witam, skąd wzięło się wyrażenie 1+2^1/2 ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 monotoniczność ciągu rekurencyjnego - zadanie 2  adacho90  1
 Monotoniczność ciągu rekurencyjnego - zadanie 3  Hendra  6
 Monotoniczność ciągu rekurencyjnego - zadanie 4  michaelrz  4
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 (2 zadania) Zbadaj monotoniczność ciągów  Anonymous  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl