szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 14 sie 2004, o 18:01 
Użytkownik
1. Wyznacz wartość parametru m, dla których suma kwadratów pierwiastków równania

x^2 - 3mx + m^2 = 0

jest równa 1,75.


2. Dla jakich wartości parametru m funkcja

f(x) = (m-2)x^2 - 3x + mx + 1

przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x rzeczywistego.

3. Dla jakich wartości m jeden pierwiastek równania x^2-(m+1)x + 6/5m = 0 jest równy sinusowi, a drugi cosinusowi tego samego kąta.

Dziękuję za pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 sie 2004, o 20:09 
Gość Specjalny

Posty: 1146
Lokalizacja: Kraków
Zad. 1

x^2-3mx+m^2=0

delta=9m^2-4m^2=5m^2

sqrt(delta)=m*sqrt(5)

Rozwiązania równania to:

[3m-m*sqrt(5)]/2
i
[3m+m*sqrt(5)]/2

Dodajemy kwadraty tych pierwiastków I musimy otrzymać 1,75=7/4


([3m+m*sqrt(5)]^2+[3m+m*sqrt(5)]^2)/4=7/4

Teraz szybka redukcja po podniesieniu do kwadratu I mamy wynik

28m^2=7

m^2=1/4

m-1/4=0

(m-1/2)(m+1/2)=0

m=1/2 lub m=-1/2


Zad. 2

f(x) = (m-2)x^2 + (m-3)x + 1

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy punkt y wierzchołka jest dodatni i a>0, więc

m-2>0
i
-[(m-3)^2-4(m-2)]/[4(m-2)]>0

m>2
i
(m^2-6m+9-4m+8)/(4m-8)<0

Ponieważ jeden warunek, który musi być spełniony to m>2, więc drugie mianownik w drugim równaniu będzie większy od 0, więc po pomnożeniu przez niego znak nierówności się nie zmienia

m>2
i
m^2-10m+17<0

liczymy teraz tylko drugi warunek

(m-5)^2-8<0

(m-5)-(2sqrt2)^2<0

(m-5-2sqrt2)(m-5+2sqrt2)<0

Aby ta nierówność była spełniona oba nawiasy muszą być przeciwnych znaków, więc:

I
(m-5-2sqrt2)>0
(m-5+2sqrt2)<0

lub

II
(m-5-2sqrt2)<0
(m-5+2sqrt2)>0

I
m>5+2sqrt2
m<5-2sqrt2
sprzeczność

II
m<5+2sqrt2
m>5-2sqrt2

Czyli

m e (5-2sqrt2 ; 5+2sqrt2)

Ale rozpatrzmy przypadek gdyby wyrażenie przy a byłoby równe 0, to wtedy m=2

f(x) = -x + 1

A dla takiego przypadku x nie jest zawsze dodatnie, więc wynik

m e (5-2sqrt2 ; 5+2sqrt2)


zad 3

Wyliczasz pierwiastki równania

delta=m^2+2m+1-24m/5=m^2-12m/5+1

Pierwiastki to:

-m^2/2+17m/10
i
m^2/2-7m/10+2

Teraz nie za bardzo mam pomysł, jedyne com i przychodzi do głowy to podstawiasz do wzoru
sin^2 x+cos^2 x = 1

Potem wyjdą równania czwartego stopnia co jest rozwiązywalne, ale to chyba nie o taki sposób chodziło.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sie 2004, o 07:29 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Mathland
Ad. 3

Nie wiem do końca jak mam rozumieć zapis 6/5m, ale najwygodniej o tym myśleć, że to (5/6)*m Więc do roboty:

Niech s, t to pierwiastki tego rownania.
Ma być, że sin(z)=s i cos(z)=t.
Wiemy, że: (sin(z))^2 + (cos(z))^2 = 1, więc i s^2 + t^2 = 1.
Ale: s^2 + t^2 = s^2 + 2st + t^2 - 2st = (s+t)^2 - 2st.
A skoro s, t to pierwiastki równania kwadratowego, to ze wzorów Viete`a wiemy, że s+t = -a/b i st = c/a , gdzie a,b,c to odpowiednio współczynniki równania kwadratowego (ax^2+bx+c).
A zatem mamy, że:
(s+t)^2 - 2st = (-b/a)^2 - 2c/a = (b^2)/(a^2) - (2ca)/(a^2) =
= (b^2 - 2ca)/(a^2)

I teraz podstawiamy do otrzymanego równania odpowiednie współczynniki, pamiętając, że na końcu przyrównamy je (równanie) do 1 (na co nam pozwala jedynka trygonometryczna).
Więc mamy:
(m+1)^2- 2*(6/5)*m = 1 bo: a=1, b=-(m+1), c=(6/5)m
m^2 + 2m + 1 - (12/5)m - 1 = 0 | *5
5m^2 + 10m + 5 - 12m - 5 = 0
5m^2 - 2m = 0
m(5m - 2) = 0 <=> m = 0 lub m = 2/5.
Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sie 2004, o 11:53 
Gość Specjalny

Posty: 1146
Lokalizacja: Kraków
kej.ef napisał(a):
Nie wiem do końca jak mam rozumieć zapis 6/5m, ale najwygodniej o tym myśleć, że to (5/6)*m


No jak to tak jak jest uznane w oznaczeniach 6/5m=6m/5, a nie wiem skąd się wzięło (5/6)*m
Góra
PostNapisane: 15 sie 2004, o 15:43 
Użytkownik
Jeszcze raz dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2004, o 05:49 
Użytkownik

Posty: 162
Lokalizacja: Mathland
Aha :oops: to już bedę wiedział na przyszłość. W każdym bądź razie ten sposób który przedstawiłem zadziała i w tym przypadku. Pozdrawiam
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie równania paraboli.  Anonymous  5
 (3 zadania) Zadania z parametrem  Anonymous  1
 Wyróżnik trójmianu kwadratowego z parametrem.  Anonymous  1
 (2 zadania) Rozwiąż równania z pierwiastkiem  basia  2
 Trójmian kwadratowy-zadania.  Anonymous  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl