szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2008, o 21:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 441
Lokalizacja: Małopolska
Wiadomo,że dla danych liczb całkowitych a,b,c liczba a ^{2}+ b ^{2} +c ^{2} jest podzielna przez 6 i liczba ab+bc+ac jest podzielna przez 3. Udowodnij, że a^{3}+b ^{3}+c ^{3} jest podzielna przez 6.

Niby zadanie zrobiłem, ale mam wątpliwości...

PS: Czy to jest prawdziwe? (a+b+c) ^{3}=a ^{3}+b ^{3} +c ^{3} +6abc +3a ^{2}b+3ab ^{2}+3ac ^{2}+3a ^{2}c+3bc ^{2}+3b ^{2}c
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 mar 2008, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 1278
Przez co podzielność masz wykazać? W temacie i w treści jest inaczej...

(a+b+c)^3=(a+b+c)\cdot\left(a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)\right), stąd 6|(a+b+c)^3.

Zachodzi a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)\right), stąd 3|\left(a^3+b^3+c^3\right).

Skoro 2|(a+b+c)^3, to również 2|(a+b+c), bo potęga liczby nieparzystej byłaby nieparzysta. Ostatnia podzielność jest możliwa wtw, gdy albo wszystkie trzy składniki dzielą się przez dwa, albo tylko jeden. W obu przypadkach suma ich sześcianów jest parzysta.
Ostatecznie 6|\left(a^3+b^3+c^3\right).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2...  piotrek3069  3
 Podzielność liczby przez 24.  pawlo392  5
 podzielność wyrażenia przez 10  aether  5
 Wykaż że liczba jest podzielna przez...  damian18833  1
 Liczba podzielna przez 15  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl