szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 mar 2008, o 16:39 
Użytkownik

Posty: 68
Dany jest okrąg S(p,r). Prosta L przechodząca przez q i prostopadła do promienia \overline{pq} nazywa się prostą styczną do okręgu S(p,r) w punkcie q. Pokazać, że
1. L\cap S(p,r)={q} - nie przechodzi w żadnym innym punkcie,
2. równaniem tej prostej jest x_{0}x+y_{0}y=r^{2}, gdzie q=(x_{0},y_{0})
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2008, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 3102
Lokalizacja: Zarów
husky11 napisał(a):
Dany jest okrąg S(p,r). Prosta L przechodząca przez q i prostopadła do promienia \overline{pq} nazywa się prostą styczną do okręgu S(p,r) w punkcie q. Pokazać, że
1. L\cap S(p,r)={q} - nie przechodzi w żadnym innym punkcie,
2. równaniem tej prostej jest x_{0}x+y_{0}y=r^{2}, gdzie q=(x_{0},y_{0})

1. Dowd (ad absurdum)
Przypuszczam że istnieje(a \in L\cap S \wedge a \neq q) \Leftrightarrow (|ap|=r \wedge |aq| \neq 0).
Z twierdzenia o kącie między styczną i promieniem trójkąt pqa jest prostokątny. Stąd i z tweirdzenia Pitagorasa |pq| ^{2}+|ap| ^{2}=|pa| ^{2}, \ czyli \ r ^{2}+|pa|=r ^{2} \Leftrightarrow |pa|=0.
To ostanie (|ap|=0) jest sprzeczne z przypuszczeniem, że |ap| \neq 0.
Przypuszczenie, że zbiór L\cap S ma więcej niż jeden element doprowadziło do sprzeczności, więc jest fałszywe i zbiór ten jest jedoelementowy.
2. Bez wpływu na dowód mogę przyjąć, że p=(0,0). Wtedy wektor \vec {pq}=[x _{0},y _{0}] jest prostopadły do prostej L, więc jej równanie ogólne ma postać x _{0}(x-x _{0})+y _{0}(y-y _{0})= x _{0}x+y _{0}y-( x _{0}  ^{2}+y ^{2}  _{0})= x _{0}x+y _{0}y-r ^{2}=0.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okrąg i styczna - zadanie 2  Przemkooo  1
 okrag i styczna - zadanie 2  matti90  3
 okrąg i styczna - zadanie 5  Rajen  1
 okrąg i styczna - zadanie 9  Edyta1010  1
 Okrag i styczna  arwo  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl