szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2008, o 23:43 
Użytkownik

Posty: 3393
Przez początek układu współrzędnych poprowadzono prostą przecinającą okrąg x^2+y^2-8y+12=0 w dwóch punktach A i B. Uzasadnij, że liczba |OA|\cdot|OB| nie zależy od wyboru prostej i oblicz wartość tego iloczynu.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 kwi 2008, o 02:57 
Użytkownik

Posty: 1345
Analitycznie?

Prosta: y=ax,\ |a|>\sqrt{3}, okrąg: x^2+(y-4)^2=2^2, wtedy dla punktów przecięcia prostej i okręgu z tw. Pitagorasa:

|OA|^2=x_1^2+y_1^2=(a^2+1)x_1^2,\ |OB|^2=x_2^2+y_2^2=(a^2+1)x_2^2.

Z drugiej strony x^2+(ax-4)^2+12=(a^2+1)x^2-8ax+12=0, stąd x_1x_2=\frac{12}{a^2+1} oraz |OA|\cdot |OB|=12.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2008, o 19:57 
Użytkownik

Posty: 3393
a skąd to założenie, że |a|>\sqrt{3}?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 kwi 2008, o 20:10 
Użytkownik

Posty: 1345
Bo inaczej prosta jest styczna lub rozłączna.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2008, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 3393
no tak ;) to wiem, tylko jak to sprawdziłaś, że taki przedział Ci wyszedł? jakoś ze styczności?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 8 kwi 2008, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 1345
x^2+(ax-4)^2=2^2

Badasz znak wyróżnika tego równania w zależności od parametru a.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2008, o 21:16 
Użytkownik

Posty: 3393
ok, a potem liczymy te punkty przecięcia? prostej i okręgu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2013, o 23:28 
Użytkownik

Posty: 15043
Lokalizacja: Bydgoszcz
A może tak:
(x_A^2+y_A^2)(x_B^2+y_B^2)=(8y_A-12)(8y_B-12)=16(4y_Ay_B-6(y_A+y_B)+9)
Liczby y_A i y_B są pierwiastkami równania
(1+a^{-2})y^2-8y+12=0,
wiec ze wzorów Viete'a 4y_Ay_B-6(y_A+y_B)=0

(w zasadzie to to samo, co bosa_Nike napisała - sorki, nie przyjrzałem się)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 gru 2013, o 23:33 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Warszawa
A czy tu nie będzie miało zastosowania twierdzenie o dwóch siecznych?
wtedy, jeżeli pubkty przecięcia okręgu z osią OY ptrząc od 0(0,0) nazwiemy C i D
\left|OC \right| \cdot \left|OD\right|=\left| OA\right|  \cdot \left| OB\right|=12
i ten iloczyn jest stały.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 00:48 
Użytkownik

Posty: 15043
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tak, tylko kto je dziś zna???
Dzięki, że je przypomniałaś :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Prosta przecinajaca okrag  szagi123  1
 Prosta przecinająca okrąg - zadanie 3  Szczepan92  2
 Prosta przecinająca okrąg - zadanie 2  rs2431  0
 Prosta styczna do okręgu.  khundzix  5
 Prosta styczna do paraboli - dowód  loonatic  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl