szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2008, o 14:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 666
Lokalizacja: Ustroń
Współrzędne wierzchołków trójkąta równoramiennego są liczbami całkowitymi. Wykaż, że kwadrat długości podstawy tego trójkąta jest liczbą całkowitą. Z góry dzięki za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2008, o 15:47 
Użytkownik

Posty: 260
Lokalizacja: Nidzica
To będzie chyba tak:
niech punkty (a,b) będą współrzędnymi wierzchołka A, a (c,d) współrzędnymi wierzchołka B, przy czym a,b,c,d\in C
|AB|= \sqrt{(a-c) ^{2} +(b-d) ^{2} }
|AB| ^{2} =(a-c) ^{2}+(b-d) ^{2}
Kwadrat róznicy dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, czyli wyrażenie (a-c)^2+(b-d)^2 jest całkowite, co należało udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2008, o 16:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 666
Lokalizacja: Ustroń
Kurde mój błąd... Źle przepisałem zadanie. Ma być:
"Wykaż, że kwadrat długości podstawy tego trójkąta jest parzystą liczbą całkowitą". Ma ktoś na to pomysł?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 kwi 2008, o 19:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1680
Lokalizacja: Poznań
Może w ten sposób:
Załóżmy że jest to trójkat ABC, gdzie BC to podstawa. Wierzchołek A ma współrzedne A=(x_A,y_A). Odpowiednio wierchołki B i C otrzymujemy poprzez przesunięcie przez pewnien wektor \vec{AB}=[a,h]   \wedge  \vec{AC}=[-a,h]. Wiemy, że a,h \in C (ponieważ wektor \vec{AB} otrzymujemy odejmując od siebie odpowiednie wspórzedne punktów A i B \vec{AB}=[x_A-x_B, y_A-y_B], a jak wiemy z zadania x_A,x_B,y_A,y_B \in C. Z wektorem AC postepujemy analogicznie) Zatem punkty B i C maa współrzedne:
B=(x_A+a, y_A+h)  \wedge C=(x_A-a,y_A+h). Czyli:
|BC|=\sqrt{[(x_A+a)-(x_A-a)]^2+[(y_A+h)-(y_A+h)]^2}=\sqrt{4a^2}=2a. A, że szukamy kwadratu podstawy to: |BC|^2=4a^2, a kwadrat liczby całkowitej pomnozonej przez 4 jest parzysta liczba całkowitą ;) :mrgreen:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2008, o 19:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 666
Lokalizacja: Ustroń
Wszystko ładnie tylko czemu wyszło, że długość tej podstawy jest zawsze liczbą całkowitą? Wystarczy rozważyć trójkąt o współrzędnych A=(0;2),B=(2;0),C=(4;4) - jest równoramienny, a podstawa BC ma długość 2\sqrt2
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 kwi 2008, o 18:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1680
Lokalizacja: Poznań
Racja! Na to nie zwróciłam uwagi.
Ale wymysliłam inny sposób. Nadal na wektorach. Przykład który przedstawiłam we wczesniejszym poscie odnosi sie tylko do trójkatów równoramiennych których podstawa jest równoległa do osi y lub x. Sa jeszcze dwa przypadki:
I.
a,b \in C
Punkty B i C otrzymujemy poprzez przesuniecie o wektory: \vec{AB}=[a,b]  \wedge   \vec{AC}=[b,a]. Więc nasze punkty to: B=(x_A+a,y_A+b)  \wedge  C=(x_A+b, y_A+a) Zatem:
|BC|=\sqrt{(a-b)^2+(b-a)^2}=\sqrt{2(a^2-2ab+b^2)} \iff |BC|^2=2(a-b)^2 A to napewno jest liczba parzysta całkowita.
II.
W nastepnym przypadku kolejne wektory wyglądaja nastepująco: \vec{AB}=[a,b]  \wedge \vec{AC}=[-b,-a] \iff B=(x_A+a,y_A+b)  \wedge C=(x_A-b,y_A-a)\\
 \Rightarrow |BC|=\sqrt{(a+b)^2+(a+b)^2}=\sqrt{2(a+b)^2} \iff |BC|^2=2(a+b)^2.
Co także jest liczbą parzysta całkowitą.
Nie jestem do końca pewna tego rozwiązania, ale nic innego nie przychodzi mi juz do głowy :P
P.S Skąd masz takie fajne zadanko? ;) :mrgreen:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 kwi 2008, o 19:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 666
Lokalizacja: Ustroń
Dobra teraz (przynajmniej dla mnie) ok. Dzięki:D wszyscy się pytają skąd zadania biorę:P To jest akurat z www,skm,katowice,pl . Ogólnie dość ciekawa ta geometria tam jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2012, o 01:35 
Użytkownik

Posty: 83
Lokalizacja: Katowice/Czeladź
A co powiecie na takie rozumowanie:
Bez straty ogólności załóżmy, że AB to podstawa
Bez straty ogólności przekształćmy izometrycznie tak aby podstawa AB była na osi OXi punkt A=(0,0)
wtedy punkt B=(2n,0) lub B=(2n+1,0) dla n \in \mathbb{Z}
wysokość spuszczona z wierzchołka C=|CD|
C=(x_{d},y_{2}) ; D=(x_{d},0)
punkt D dzieli podstawę na dwie równe części, więc
x_{d}\not\in \mathbb{Z} dla B=(2n+1,0)
x_{d} \in \mathbb{Z} dla B=(2n,0)
Co należało udowodnić

-- 1 lis 2012, o 00:36 --

Czy mógłby ktoś sprawdzić moje rozumowanie?

-- 1 lis 2012, o 00:49 --

Jakby komuśnie chciało się szukać treści to wkejam ją tu:

Współrzędne wierzchołków trójkąta równoramiennego są liczbami całkowitymi. Wykaż, że kwadrat długości podstawy tego trójkąta jest liczbą parzystą
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lis 2012, o 12:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1437
Lokalizacja: Katowice
amadeuszi napisał(a):
A co powiecie na takie rozumowanie:
Bez straty ogólności załóżmy, że AB to podstawa
Bez straty ogólności przekształćmy izometrycznie tak aby podstawa AB była na osi OXi punkt A=(0,0)
wtedy punkt B=(2n,0) lub B=(2n+1,0) dla n \in \mathbb{Z}
...
po tej izometrii B nie musi mieć współrzędnych całkowitych
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 lis 2012, o 00:12 
Użytkownik

Posty: 83
Lokalizacja: Katowice/Czeladź
Fakycznie, a mogłoby być tak:
Przyjmijmy bez straty ogólności, że AB jest podstawą i A=(0,0)
Wtedy B=(2m,2n) lub B=(2m+1,2n+1) lub B=(2m+1,2n) lub B=(2m,2n+1)
|CD| jest wysokością,
dla B=(2m,2n+1) ; D=(m,n+\frac{1}{2}) , m,n \in \mathbb{Z}
wektor prostopadły do wektora \vec{AD}to wektor \vec{DC}=a \cdot [-n-\frac{1}{2},m] , i tu nie wiem czy a \in \mathbb{R} ale to chyba nie ważne.
Punkt C=D+ \vec{DC}=[m-(n+\frac{1}{2}) \cdot a,n+\frac{1}{2}+m \cdot a]
nie ma tekiej liczby a, żeby m-(n+\frac{1}{2}) \cdot a i n+\frac{1}{2}+m \cdot a należało do całkowitych. Dochodzimy analogicznie do tego dla B=(2m+1,2n). Sprawdzamy pozostałe. Popzostałe działają, co należało udowodnić.
A jak to rozwiązanie?

-- 1 lis 2012, o 23:14 --

A mógłby ktoś wkleić poprawnie rozwiązane, ponieważ wydaje mi się, że rozwiązanie Justki ma taką usterkę że zakłada, że podstawa jest prostopadła do osiOX lub osi OY

-- 3 lis 2012, o 17:50 --

up
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trapez w układzie współrzednych, pole i wierzchołki  mrsgrucha  1
 znajdz pozostałe wierzchołki mając dwie środkowe i pkt  gaelle91  2
 Dane wierzchołki - obliczyć środek okr. opisanego  Whitecoffee  2
 wyznacz wierzchołki  milalp  1
 Wierzchołki Trójkąta...  zygos12  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl