szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 kwi 2008, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: gorzow wlkp
Udowodnij, że {n\choose s} \leqslant \left( \frac{ne}{s} \right) ^{s} dla wszystkich n \in \NN oraz s \in \lbrace 0 \rbrace \cup \NN.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2010, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Śląsk
Witam
Ponawiam prośbę o jasne wytłumaczenie tego zadanka.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 17 maja 2018, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Katowice
Również ponawiam prośbę o rozwiązanie zadania :)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 maja 2018, o 22:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1127
Lokalizacja: hrubielowo
Ja to widzę tak, że można by to zrobić indukcją po s \le n. No i nierówność nie ma sensu dla s=0 jak piszą w zadaniu. Więc zakładam, że s,n\in\NN i s \le n. Dla s=1 nierówność jest oczywista. Zakładamy więc, że nierówność jest prawdziwa dla jakiegoś s i sprawdzamy czy takie założenie implikuje:

\frac{n!}{(s+1)!(n-s+1)!} \le \left( \frac{en}{s+1} \right)^{s+1}

\frac{n!}{s!(n-s)!} \le \left( \frac{en}{s+1} \right)^{s+1}(s+1)(n-s+1)

Więc jeśli spełniona będzie nierówność:

\left( \frac{en}{s} \right)^{s} \le \left( \frac{en}{s+1} \right)^{s+1}(s+1)(n-s+1)

To teza T(s+1) też będzie spełniona ze względy na założenie T(s).

Nierówność ta przekształca się do:

\left( \frac{s+1}{s} \right)^{s} \le en(n-s+1)

Zauważy, że wyrażanie po lewej stronie jest malejące ze względy na s, więc wystarczy sprawdzić tylko graniczny przypadek s=n (po prawej) co daje:

\left( \frac{s+1}{s} \right)^{s} \le e

Nierówność ta jest już znana i wynika z nierówności Bernoulliego. Tym samym kończąc dowód.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 maja 2018, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 12039
Można również zapisać, że
dla n\ge s jest {n \choose s}=\frac{1}{s!} \prod_{k=1}^{s}(n-k+1), przekształcić tezę do równoważnej, z uwagi na powyższe, postaci
\prod_{k=1}^{s}(n-k+1) \le s!\left( \frac{ne}{s}\right)^s
i użyć szacowania
s!\ge \left( \frac s e\right)^s (jego dowód to zwykle też indukcja),
a wówczas wystarczy udowodnić, że
\prod_{k=1}^{s}(n-k+1)\le n^s,
co jest oczywiste, gdyż zarówno po lewej, jak i po prawej stronie mamy po s dodatnich czynników (tylko z prawej wszystkie są równe n) i każdy czynnik z lewej strony jest nie większy niż n.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 18 maja 2018, o 08:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1127
Lokalizacja: hrubielowo
Fajne ale złotego szpadla Ci nie oddam!
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 maja 2018, o 00:06 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Katowice
Dziękuję, chłopaki! :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zadanie z symbolem Newtona - zadanie 3  kacpr90  1
 Dwumian Newtona - Obliczenie sumy  betrax  1
 Używając wzoru dwumianowego newtona wykazać równości  agakolodziejska  6
 Symbol Newtona - zadanie 29  Lipek  1
 dwumian newtona - zadanie - zadanie 2  Sidor  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl