szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2008, o 06:45 
Użytkownik

Posty: 134
Mam problem z następującym dowodem:

Jeżeli liczby a,b są pierwsze i a>b>2
to różnica kwadratów tych liczb jest podzielna przez 8.


Kombinowałem ze wzorem skróconego mnożenia ale poddaję się.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2008, o 06:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1822
Lokalizacja: WLKP
Zapiszmy nasze liczby jako:
a=2n+3 \\
b=2n+1

Z treści zadania wiemy, że a^2-b^2=(2n+3)^2-(2n+1)^2=4n^2+12n+9-4n^2-4n-1=8n+8=8(n+1)

C.N.D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2008, o 07:49 
Użytkownik

Posty: 105
RyHoO16: no dobrze, ale taki zapis tych liczb nie gwarantuje, ze one będą pierwsze...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2008, o 08:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1822
Lokalizacja: WLKP
Jeżeli znasz kongruencję to możemy zapisać tak
p \equiv 0 (mod_{p}) oraz x \equiv 0 (mod_{x}). Gdzie p i x to liczby pierwsze. Do wykazania mamy, że
p^2-x^2 \equiv 0(mod_{8})
Rozpatrzymy teraz liczby p i x. Wiemy też że x oraz
p^2=x^2 \equiv 1 (mod_{8})

Czyli mamy p^2-x^2 \equiv (mod_{8})\iff 1^2-1^2\equiv0 (mod_{8})

C.N.D

Choćby nie jestem pewien tego dowodu. Jak ktoś wtajemniczony mógłby sprawdzić. Będę wdzięczny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2008, o 12:12 
Użytkownik

Posty: 3906
Lokalizacja: Warszawa
Po prostu weźmy dwie liczby pierwsze a i b i ze wzorów skróconego mnożenia:
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
Oba czynniki są parzyste, wystarczy pokazać, że jeden jest podzielny przez 4. Zauważmy jednak, że te liczby przy dzieleniu przez 4 mogą dawać jedynie reszty 1 i 3. Rozpisując przypadki łatwo dojdziemy do wniosku, że jedna z tych liczb jest podzielna przez 4, zatem całość przez 8.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2008, o 14:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 666
Lokalizacja: Ustroń
Albo można po prostu skorzystać z tego, że kwadrat każdej liczby nieparzystej daje resztę 1 przy dzieleniu przez 8.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 maja 2008, o 15:24 
Użytkownik

Posty: 879
Lokalizacja: Kraków
RyHoO16 napisał(a):
Zapiszmy nasze liczby jako:
a=2n+3 \\
b=2n+1


RyHoO16, to mają być liczby pierwsze, a nie liczby bliźniacze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl