Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Własności i granice ciągów

Parametr p a granica.

Strona 1 z 1

[ Posty: 13 ]

Autor

Wiadomość

alien

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 13 maja 2008, o 12:36

Posty: 280
Lokalizacja: Lubcza

Witam mam takie jedno zadanko i nie wiem jak je zrobic:
Dla jakich wartości parametru $p$ ciąg o wyrazie ogólnym
$a_n=\sqrt{4n^2+3n+5}-(p \cdot n+1)$
a)ma granicą niewłaściwą $-\infty$
b)ma granicę właściwą(oblicz tę granicę)
c)ma granicę niewłaściwą $+\infty$ .
Pomoże mi ktoś?;>

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

meninio Offline

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 13 maja 2008, o 13:47

Posty: 1876
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój

$\lim_{ n \to \infty } \frac{4n^2+3n+5 -(pn+1)^2}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1}= \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n^2+(3-2p)n+4}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1} = \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }= \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p}{\sqrt{4}+p}= \lim_{n \to \infty} \frac{(2-p)(2+p)}{2+p}n + \frac{3-2p}{2+p} = \\ =\frac{3-2p}{2+p}+ \lim_{ n \to \infty }(2-p)n$

I teraz rozważania:
1) dla $p=2 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_n= - \frac{1}{4}$
2) dla $p \in (2; \infty) \Rightarrow 2-p$
3) dla $p \in (- \infty; 2) \rightarrow 2-p>0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_n=\infty$

Góra

alien

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 13 maja 2008, o 14:13

Posty: 280
Lokalizacja: Lubcza

Dzięki serdeczne

Góra

stechiometria Offline

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 25 lip 2014, o 09:09

Posty: 19
Lokalizacja: Polska

A co jeśli p=-2? Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, ile wynosi granica, gdy licznik dąży do nieskończoności, a mianownik do 0? Albo licznik do liczby, a mianownik do zera? Czy zawsze można stosować regułę, że jak licznik ma wyższą najwyższą potęgę niż mianownik to dąży do nieskończoności, a jak odwrotnie do do 0?

Góra

piasek101 Offline

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 25 lip 2014, o 19:38

Posty: 22866
Lokalizacja: piaski

Nie wszystko na raz.

1) gdy masz $p=-2$ to zachodzi przypadek (3) z zielonego posta.

Góra

stechiometria Offline

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 26 lip 2014, o 04:25

Posty: 19
Lokalizacja: Polska

Czyli jak podzielimy czy pomnożymy przez 0 ciąg dążący do nieskończoności to wyjdzie ciąg dążący do nieskończoności? Zawsze tak jest?

Góra

Dasio11 Offline

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 26 lip 2014, o 19:23

Posty: 8170
Lokalizacja: Wrocław

meninio napisał(a):

$\lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }= \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p}{\sqrt{4}+p}$

To przejście jest nieuzasadnione. Nawet, gdyby przymknąć na nie oko, to takie podejście wyklucza $p = -2.$ Ten przypadek musi być rozważony osobno. Wątpliwość stechiometrii jest słuszna.

Dla $p = -2$ mamy

$a_n = \sqrt{4n^2+3n+5} + (2n-1).$

Pierwszy składnik jest dodatni, a drugi zmierza do nieskończoności, zatem wtedy

$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty.$

Góra

piasek101 Offline

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 26 lip 2014, o 19:43

Posty: 22866
Lokalizacja: piaski

Dla ścisłości - nie analizowałem ,,zielonego" i stąd moja poprzednia podpowiedź.

Góra

sprawdzam_swoje_idee Offline

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 2 kwi 2018, o 14:55

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa

Dlaczego nie tak?
$\lim_{ n\to \infty } \bigl \left( \sqrt{4n^2+3n+5}- \left( pn+1 \right) \bigr \right) =\lim_{ n\to \infty } \left( n \left( \sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }-p \right) -1 \right) =\\ = \left( 2-p \right) \lim_{ n\to \infty } \left( n \right) -1$
Wtedy wyjdzie tak samo, jednak w podpunkcie b) granicą będzie $-1$ .

Albo postępując Państwa metodą nie trzeba przypadkiem sprawdzić dla jakich wartości $p$ mianownik będzie równy $0$ i rozważyć te przypadki osobno? Czy w tego typu zadaniach nie trzeba rozwiązać warunek $\sqrt{4 n^{2}+ 3n+5} \neq - \left( pn+1 \right)$ dla $n \in \mathbb N_{+}$ ?

Góra

Jan Kraszewski Offline

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 2 kwi 2018, o 15:11

Posty: 24175
Lokalizacja: Wrocław

sprawdzam_swoje_idee napisał(a):

$\lim_{ n\to \infty } \left( n \left( \sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }-p \right) -1 \right) = \left( 2-p \right) \lim_{ n\to \infty } \left( n \right) -1$

To jest niepoprawne przejście - nie wolno "częściowo" przechodzić do granicy.

JK

Góra

sprawdzam_swoje_idee Offline

Tytuł: Re: Parametr p a granica.

Napisane: 2 kwi 2018, o 15:28

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa

Dlaczego "częściowo"? Limes (n) razy limes (wyrażenie pod pierwiastkiem minus p) i minus limes 1, czyli
to co napisałem po wyznaczeniu granicy. Korzystałem z tego, że $\lim (ab) = \lim (a) \lim (b)$

Góra

rubiccube Offline

Tytuł: Parametr p a granica.

Napisane: 2 kwi 2018, o 17:05

Posty: 36
Lokalizacja: Gdańsk

sprawdzam_swoje_idee napisał(a):

lim (ab) = lim (a) lim (b)

to prawda, ale nie prawdą jest, że jeżeli $\lim_{n \to \infty }a_n=a$ to $\lim_{ n\to \infty }a_nb_n=a\cdot \lim_{ n\to \infty }b_n$ a to właśnie zrobiłeś.

Góra

sprawdzam_swoje_idee Offline

Tytuł: Re: Parametr p a granica.

Napisane: 2 kwi 2018, o 17:38

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa

Dzięki, nie miałem pojęcia!

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 13 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Własności i granice ciągów

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+	Arek	6
Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21	Anonymous	3
Granica ciągu	mynihon	2
Granica ciągu - zadanie 1317	Grzebyq	7
Granica funkcji/funkcja odwrotna.	Anonymous	2

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]