szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2008, o 12:36 
Użytkownik

Posty: 280
Lokalizacja: Lubcza
Witam mam takie jedno zadanko i nie wiem jak je zrobic:
Dla jakich wartości parametru p ciąg o wyrazie ogólnym
a_n=\sqrt{4n^2+3n+5}-(p \cdot n+1)
a)ma granicą niewłaściwą -\infty
b)ma granicę właściwą(oblicz tę granicę)
c)ma granicę niewłaściwą +\infty.
Pomoże mi ktoś?;>
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2008, o 13:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1876
Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
\lim_{ n \to \infty }  \frac{4n^2+3n+5 -(pn+1)^2}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1}=  \lim_{ n \to \infty }  \frac{(4-p^2)n^2+(3-2p)n+4}{\sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1}  = 
 \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }=    \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p}{\sqrt{4}+p}= \lim_{n  \to \infty} \frac{(2-p)(2+p)}{2+p}n + \frac{3-2p}{2+p} = \\ =\frac{3-2p}{2+p}+ \lim_{ n \to \infty }(2-p)n

I teraz rozważania:
1) dla p=2  \Rightarrow  \lim_{n \to \infty } a_n= - \frac{1}{4}
2) dla p \in (2; \infty)  \Rightarrow  2-p
3) dla p \in (- \infty; 2)  \rightarrow 2-p>0  \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_n=\infty
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2008, o 14:13 
Użytkownik

Posty: 280
Lokalizacja: Lubcza
Dzięki serdeczne ;)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 lip 2014, o 09:09 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
A co jeśli p=-2? Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, ile wynosi granica, gdy licznik dąży do nieskończoności, a mianownik do 0? Albo licznik do liczby, a mianownik do zera? Czy zawsze można stosować regułę, że jak licznik ma wyższą najwyższą potęgę niż mianownik to dąży do nieskończoności, a jak odwrotnie do do 0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lip 2014, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 22817
Lokalizacja: piaski
Nie wszystko na raz.

1) gdy masz p=-2 to zachodzi przypadek (3) z zielonego posta.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 lip 2014, o 04:25 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Czyli jak podzielimy czy pomnożymy przez 0 ciąg dążący do nieskończoności to wyjdzie ciąg dążący do nieskończoności? Zawsze tak jest?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2014, o 19:23 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7978
Lokalizacja: Wrocław
meninio napisał(a):
\lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }=    \lim_{ n \to \infty } \frac{(4-p^2)n+3-2p}{\sqrt{4}+p}


To przejście jest nieuzasadnione. Nawet, gdyby przymknąć na nie oko, to takie podejście wyklucza p = -2. Ten przypadek musi być rozważony osobno. Wątpliwość stechiometrii jest słuszna.

Dla p = -2 mamy

a_n = \sqrt{4n^2+3n+5} + (2n-1).

Pierwszy składnik jest dodatni, a drugi zmierza do nieskończoności, zatem wtedy

\lim_{n \to \infty} a_n = \infty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2014, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 22817
Lokalizacja: piaski
Dla ścisłości - nie analizowałem ,,zielonego" i stąd moja poprzednia podpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 14:55 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Dlaczego nie tak?
\lim_{ n\to  \infty } \bigl \left( \sqrt{4n^2+3n+5}- \left( pn+1 \right)  \bigr \right) =\lim_{ n\to  \infty }  \left( n \left( \sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }-p \right) -1 \right) =\\
= \left( 2-p \right) \lim_{ n\to  \infty }  \left( n \right) -1
Wtedy wyjdzie tak samo, jednak w podpunkcie b) granicą będzie-1.

Albo postępując Państwa metodą nie trzeba przypadkiem sprawdzić dla jakich wartości p mianownik będzie równy 0 i rozważyć te przypadki osobno? Czy w tego typu zadaniach nie trzeba rozwiązać warunek \sqrt{4 n^{2}+ 3n+5} \neq - \left( pn+1 \right) dla n \in \mathbb N_{+}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 15:11 
Administrator

Posty: 23688
Lokalizacja: Wrocław
sprawdzam_swoje_idee napisał(a):
\lim_{ n\to  \infty }  \left( n \left( \sqrt{4+ \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} }-p \right) -1 \right) = \left( 2-p \right) \lim_{ n\to  \infty }  \left( n \right) -1

To jest niepoprawne przejście - nie wolno "częściowo" przechodzić do granicy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 15:28 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Dlaczego "częściowo"? Limes (n) razy limes (wyrażenie pod pierwiastkiem minus p) i minus limes 1, czyli
to co napisałem po wyznaczeniu granicy. Korzystałem z tego, że \lim (ab) = \lim (a) \lim (b)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 17:05 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Gdańsk
sprawdzam_swoje_idee napisał(a):
lim (ab) = lim (a) lim (b)

to prawda, ale nie prawdą jest, że jeżeli \lim_{n \to \infty }a_n=a to \lim_{ n\to \infty }a_nb_n=a\cdot \lim_{ n\to \infty }b_n a to właśnie zrobiłeś.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 kwi 2018, o 17:38 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki, nie miałem pojęcia!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica funkcji/funkcja odwrotna.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl