szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 20:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 568
Lokalizacja: Ostrowiec Św. / Warszawa (Ochota)
9^{9^{9}} (mod 100)

prosze o rozpisanie i wytlumacznie ;)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 21:35 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Kęty
Błąd
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 21:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 568
Lokalizacja: Ostrowiec Św. / Warszawa (Ochota)
no niestety to prawdą nie jest chyba... bo zrobiles (9^{9})^{9} a nie tak jak jest w zadanku....
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 21:47 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Kęty
ok, wycofuję :)

a co myślisz o tym:
9^{10}\equiv1(mod100)\\
9^{10n}\equiv1\equiv-99(mod100)
teraz badamy:
9\equiv-1(mod10)\\
9^{9}\equiv-1(mod10)\\
9^{9}+1\equiv0(mod10)
więc:
9^{9^{9}+1}\equiv9^{10n}\equiv-99(mod100)\\
9^{9^{9}}\equiv-11\equiv89(mod100)

Tylko nie wiem czy tak można kongruencje dzielić... ;)
Chyba raczej nie :D
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 22:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 568
Lokalizacja: Ostrowiec Św. / Warszawa (Ochota)
wynik chyba dobry ale rozwiazania troche nie rozumiem :P... musze jeszcze nad tym pomyslec :)

[ Dodano: 18 Maj 2008, 23:02 ]
thorominth, czemu dales to 9^{9} + 1 w wykladnik, to tak mozna? :P
najlepiej podaj mi swoj numer gg tu , albo na PW to pogadamy troche, bo tutaj to ciezko ...
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 22:13 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Kęty
Dzielenie jest dobrze, ale z każdego dzielenia kongruencji trzeba się gęsto tłumaczyć więc lepiej ostatnie linijki zapisać tak:
9^{9}-9\equiv0(mod10)\\
9^{9^{9}-9}\equiv1(mod10)
no to:
9^{9^{9}}\equiv9^{9}\equiv89(mod100)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 22:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 568
Lokalizacja: Ostrowiec Św. / Warszawa (Ochota)
dobra z pomoca dwoch osob doszedlem do jakis wnioskow, otoz:
9^{9} \equiv 89 (mod 100)\\
9 \equiv 9 (mod 100)
i teraz po prostu 9 po lewej stronie podnosze do potegi po lewej stronie (rownania u gory) i 9 po prawej do potegi po prawej (89) ;P
9^{9^{9}} \equiv 9^{89} (mod 100)\\
9^{10} \equiv 1 (mod 100)\\
9^{89) \equiv 89 (mod 100)\\
9^{9^{9}} \equiv 89 (mod 100)

dzieki thorominth :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Kęty
ok, to ja zapiszę rozwiązanie do innego zadanka, to się powinno rozjaśnić:

2 ostatnie cyfry:
9^{8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1^{0}}}}}}}}}
wiemy, że: 9^{n+10}\equiv9^{n}(mod100), więc badamy
8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1^{0}}}}}}}} (mod 10)
wiemy, że 8^{n+4}\equiv8^{n}(mod10), więc badamy:
7^{6^{5^{4^{3^{2^{1^{0}}}}}}} (mod4)
wiemy, że 7^{n+2}\equiv7^{n} (mod4), więc badamy:
6^{5^{4^{3^{2^{1^{0}}}}}} (mod 2)
a ponieważ 2|6, to:
6^{5^{4^{3^{2^{1^{0}}}}}}\equiv0(mod2)
czyli:
7^{6^{5^{4^{3^{2^{1^{0}}}}}}}\equiv7^{0}\equiv1(mod4)
więc:
8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1^{0}}}}}}}}\equiv8^{1}\equiv8(mod10)
zatem:
9^{8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1^{0}}}}}}}}}\equiv9^{8}\equiv21(mod100)
Odp: 21
To zadanko to to samo co zadałeś, tylko że jest więcej "schodków" ;)

[ Dodano: 18 Maj 2008, 23:59 ]
MatizMac napisał(a):
i teraz po prostu 9 po lewej stronie podnosze do potegi po lewej stronie (rownania u gory) i 9 po prawej do potegi po prawej (89) ;P

kurcze chyba niestety to nie do końca tak działa...

[ Dodano: 19 Maj 2008, 00:13 ]
Spójrz, możemy spróbować Twoim sposobem takie cuś:
-1\equiv2(mod3)
no i powiedzmy:
1\equiv4(mod3)
a jak podniesiemy, to mamy:
-1^{1}\equiv2^{4}(mod3)
czyli:
-1\equiv16\equiv1(mod3), więc chyba niebardzo. Spójrz na to zadanko, które wysłałem, bo jest taka sama zasada
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 23:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 568
Lokalizacja: Ostrowiec Św. / Warszawa (Ochota)
ja to w ogole nie czaje skad Ci sie biora te "wiemy ze" :P i te modula rozne.....
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 18 maja 2008, o 23:17 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Kęty
Aha, dobra. To jeżeli jesteś na gg, to mogę szybko wytłumaczyć.

[ Dodano: 19 Maj 2008, 00:23 ]
Dobra to napiszę tutaj.

bierzemy sobie 9. Wiemy że co dziesięć potęg reszta z dzielenia przez 10 jest taka sama. czyli:
9^{1}\equiv9^{11}\equiv9^{31}(mod100) i.t.d
czyli jak podnosimy 9 do jakieś potęgi naturalnej to musimy tylko wiedzieć jaka jest jej reszta z dzielenia przez 10, nie musimy znać jej dokładnej wartości.
dlatego badamy podzielność wykładnika przez 10.
bierzemy sobie teraz 8 i sprawdzamy co się dzieje z kolejnymi potęgami i resztą z dzielenia przez 10. Zauważamy że ta reszta powtarza się co 4. Więc znowu nie musimy znać dokładnej wartości wykładnika dla ósemki, tylko żeby wiedzieć jaką resztę z dzielenia przez 10 daje ta liczba, muszę tylko wiedzieć, jaką resztę z dzielenia przez 4 daje jej wykładnik.
Wiec bierzemy sobie podstawę wykładnika (czyli siódemkę) i okazuje się że przy dzieleniu przez 4 reszta powtarza się co 2 potęgi. Wiadomo, że 6 do dowolnej potęgi daje resztę 0 w dzieleniu przez 2, czyli. A ponieważ wiemy, że reszta z dzielenia kolejnych potęg 7 powtarza się co 2, to wystarczy, że sprawdzimy jaka jest reszta z dzielenia 7^0, żeby wiedzieć jaka jest reszta z dzielenia całej liczby. Reszta jest oczywiście równa 1, więc wracamy do 8. Tutaj potęgi powtarzają się co 4 (żeby dawały taką samą resztę w dzieleniu przez 10), a wiemy że wykładnik daje resztę 1 w dzieleniu przez cztery. No to sprawdzamy że reszta z dzielenia całego przez 10 jest równa reszcie z dzielenia 8^1 przez 10 (bo się powtarza). Tym sposobem wracamy do 9. Wykładnik daje resztę z dzielenia przez 10 równą 8, więc caaaała liczba z dzielenia przez 100 daje taką resztę, jak 9^8 z dzielenia przez 100 (bo się powtarza co 10).
No i sprawdzamy że to jest równe 21.

Ufff :)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 19 maja 2008, o 16:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 666
Lokalizacja: Ustroń
Możesz też skorzystać z funkcji Eulera i sprawdzić
9^9(mod\varphi (100))
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 19 maja 2008, o 20:47 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Kęty
Ale nie uważasz że to trochę jak niszczenie mrowiska bombą atomową?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 19 maja 2008, o 20:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1822
Lokalizacja: WLKP
Dlaczego uważasz, że wskazówka limes123 jest zła. Moim zdaniem bardziej przejrzysta.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 19 maja 2008, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Kęty
a potrafisz dowieść prawdziwości tej funkcji?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: kongruencyjnie
PostNapisane: 20 maja 2008, o 18:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 744
Lokalizacja: Warszawa
Funkcja jest prawdziwa.

Pewnie chodzi ci o twierdzenie Eulera. Nie trzeba go nawet dowodzić. Jak już obliczymy \varphi(100), to wystarczy, że sprawdzimy, że 9^{\varphi(100)} \equiv 1 \ (mod \ 100) (oczywiście trzeba być cierpliwym).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona

 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl