szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Offline
PostNapisane: 2 wrz 2004, o 18:22 
Użytkownik

Posty: 52
Lokalizacja: BB (Bielsko-Biała)
Hej ,plis ludzie pomóżcie, do szkoły mam takie zadanie:

Udowodnij prawdziwość zasady podzielności liczb naturalnych przez 9 (tj. jeśli suma cyfr danej liczby jest podzielna przez 9 to sama liczba też). Błagam, niech ktoś mi wytłumaczy, samą zasade przecież zna każdy, ale jej dowód??? Mam walniętego matematyka...

Zgóry dziękuje wszystkim inteligentniejszym ode mnie!!! A Bogu dziękuje za forum matematyka.pl!!!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 wrz 2004, o 18:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
No więc:

ZASADĘ ZNASZ - suma cyfr liczby zapisanej w systemie dziesiętnym ma dzielić się przez 9.

ALE POWIEDZ WPIERW, bo od tego zależy czy odpowiedź będzie krótsza, czy zawierająca wprowadzenie...

CZY WIESZ CZYM SĄ KONGRUENCJE I JAK NIMI OPEROWAĆ?
Góra
Offline
PostNapisane: 2 wrz 2004, o 19:39 
Użytkownik

Posty: 52
Lokalizacja: BB (Bielsko-Biała)
Koledzy, jestem 1 klasa LIC, nie mam pojęcia co to jest KONG...ówno, czy jak tam sie mówi, a nam to zadanie zadał Nauczyciel 2 dnia szkoły, fajnie, nie wiem w ogóle ja sie zabrać, a potrzebuje prostego wytłumaczenia na poniedziałek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 wrz 2004, o 19:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
Ano więc wytłumaczenie odrobnę dłuższe Ci się należy... i bez kongruencji... choć to w sumie kongruencje bez mówienia, że to one 8-)

No więc:

Każda liczba całkowita, której zapis za pomocą cyfr, to np. abc da się rozpisać jako: a*10^2+b*10^1+c*10^0

Ogólnie: liczba, której cyfry czytane od prawej to a_n, a_n-1, ..., a_1, a_0 da się zapisać w postaci: a_n*10^n + a_n-1*10^(n-1)+...+a_0*10^0

Teraz tak: 10 przy dzieleniu przez 9 daje resztę 1. Równie łatwo pokazać, że 10 do dowolnej potęgi naturalnej też daje przy dzieleniu prze 9 resztę 1. To oznacza, że k*10^n, dla dowolnego k i n naturalnego daje przy dzieleniu przez 9 resztę k.

Liczba naturalna tymczasem dzieli się przez 9, gdy reszta z dzielenia tej liczby przez 9, się przez 9 dzieli.

Zatem skoro reszta z dzielenia k*10^n przez 9 to k, to resztaz dzielenia
a_n*10^n + a_n-1*10^(n-1)+...+a_0*10^0 przez 9 to suma cyfr tej liczby.
A zatem jeżeli suma cyfr danej liczby dzieli sie przez 9, to ta liczba ta dzieli sie przez 9.

Pozdr.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 wrz 2004, o 21:58 
Gość Specjalny

Posty: 800
Lokalizacja: W-U
Podobne rozumowanie, ale inaczej zapisane:
10 - 1 = 9
10^2 - 1 = 99
10^3 - 1 = 999
...
10^n - 1 = 99..9 (n dziewiatek)
i oczywiscie kazda liczba tej postaci dzieli sie przez 9.
Niech liczba n cyfrowa ma cyfry a_n, a_n-1, ..., a_1, a_0 (tak jak u Arka). Wtedy
a_1 * 10 = a_1 * (10 - 1) + a_1 czyli cos podzielne przez 9 + a_1
a_2 * 10^2 = a_2 * (10^2 - 1) + a_2 czyli cos podzielne przez 9 + a_2
a_3 * 10^3 = a_3 * (10^3 - 1) + a_3 czyli cos podzielne przez 9 + a_3
...
a_n * 10^n = a_n * (10^n - 1) + a_n czyli cos podzielne przez 9 + a_n

A wiec nasza liczba
a_n*10^n + a_n-1*10^(n-1)+...+a_0*10^0 = cos podzielne przez 9 + a_n + a_n-1 + ... + a_3 + a_2 + a_1 + a_0


Ps. Arku, popraw troche zapis, sa bledy w indeksach
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 wrz 2004, o 15:18 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
Ekhem... w istocie... No, ale już powinno być wszystko dobrze.

Dzięki. 8-)
Góra
PostNapisane: 3 wrz 2004, o 16:31 
Użytkownik
ok, panowiem wielkie dzięki, zrozumiałem coś, czego nie przewiduje program 1 kl liceum, zobaczymy jak zareaguje na to T.Szymczyk (autor "Tablic Matematycznych" popularnych w całej Polsce - mój nauczyciel) w poniedziałek. Jednocześnie pokazuje sposób na który wpadła moja koleżanka, bardzo zresztą fajna, też z 1 kl lic. przewiduje ona.... 1 układ równań, bez kongruen...cośtam!!!

(nie wiem jak zapisać klamre układu równań):

/ a_1*10^n + a_1*10^(n-1) .....+ a_n*10^0 = 9k (<-- Założenie)
\ a_1+a_2+ .... +a_n = k (<-- Teza)

Po kilku linijkach klasycznego sposobu rozwiązywania układów równań dochodzi sie do postaci k=k, a więc że taki układ jest poprawny dla każdej liczby, a więc właśnie to jest udowodnione. Podejrzewam, że właśnie takiego rozwiązania oczekiwał nasz nauczyciel, ale dzięki i tak za kongruencje, bo przynajmniej wiem coś nowego.

POZDROWIENIA dla wszystkich ludzi którzy przejmują sie losem "pierwszaków" w liceach!!!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 wrz 2004, o 16:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
heh... akurat pokazaliśmy coś, co bazuje na kongruencjach, bo w języku kongruencji dowód ma ok 3 linijki.

I - znowu - jako moderator muszę zareagować 8-) - Yavien jest kobietą!
Więc skąd to panowie?
Góra
PostNapisane: 3 wrz 2004, o 21:35 
Użytkownik
Ok, Wielki nasz MODERATORZE

Sorki WIELKIE dla mrs YAVIN, naprawde, ja po prostu znałem GOSTKA o takim nicku, nawet z początku myślałem że to ON, ale skapałem się, że ten którego znam, by nie wymyślił takiego rozwiązania ;)))

Teraz do końca życia bede wiedział kto to YAVIN i oczywiście respekt pełny dla wszystkich pań na forum (grunt to sie podlizać ;-)))).


DZIĘX po raz ósmy, pomogliście mi na serio.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 wrz 2004, o 22:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1729
Lokalizacja: Koszalin
I grunt to nie mylić imion :lol: :lol: :lol:

Nie YAVIN ale "Yavien"...

Nie ma za co po raz ósmy... 8-)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 wrz 2004, o 00:45 
Gość Specjalny

Posty: 800
Lokalizacja: W-U
Arek napisał(a):
Nie YAVIN ale "Yavien"...
Z akcentem na e w dodatku. heh Nie gniewam sie :)
btw:
Magik100 napisał(a):
/ a_1*10^n + a_1*10^(n-1) .....+ a_n*10^0 = 9k (<-- Założenie)
\ a_1+a_2+ .... +a_n = k (<-- Teza)
Przeciez to nie dziala np dla 72:
72 = 9*8, 7+2 = 9 <> 8... (nie rowne)
Góra
PostNapisane: 4 wrz 2004, o 12:47 
Użytkownik
No, oczywiście znowu musze przepraszać, tym razem mrs YAVIEN, w końcu sie naucze tych imion na pamięć , obiecuje.

Z tym ukkładem równań jest ciut pokręcone, tam na końcu drugiej linijki nie ma być " = k", tylko "= 9". I chyba wszystko działa, ale jak już mówiłem, nie jestem dzieckiem uzdolnionym matematycznie, więc jak ktoś jeszcze znajdzie błędy, no to prosze mi je wytknąć, przyjme z honorem.

DZIENX.

PS. Chyba to nie jest straszny nietakt, kiedy ja sam odpisuje na posty ludzi którzy mi odpisali nie będąc zalogowanym co zmusza mnie do występowania jako "gość" o loginie innym niż mój zawykły "magik100". Po prostu jestem zbyt leniwy, żeby wchodząc na strone zalogować sie i od razu klikam odpowiedz.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 wrz 2004, o 13:48 
Gość Specjalny

Posty: 800
Lokalizacja: W-U
Offtopic, ale napisze: Przeciez jak sie raz zalogujesz, to zaznaczasz pole "zaloguj mnie przy kazdej wizycie" i zapominasz o logowaniu, a tak, to za kazdym razem musisz wpisac w okienko "gosc" swoj nick ;) Co latwiejsze?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Podzielność przez 120  Anonymous  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl