szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2005, o 08:41 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Zabrze
doznałem chyba ostatnio zaćmienia muzgu :? i nie pamiętam jak się przeprowadza dowód indujcyjny dala tego typu nierówności:

2^n > 2n+1 , dla n>=3


z góry dzięki za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2005, o 08:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
1) Sprawdzamy, czy nierówność zachodzi dla n=3.

2^3=8>6+1=7, więc zachodzi.

2) Zakładamy prawdziwość dla k, wykażemy, że wynika z niej prawdziwość dla k+1.

2^k>2k+1.

Mnożąc obie strony przez 2 dostajemy:

2^{k+1}>4k+1>2k+3=2(k+1)+1, a ostatnia nierówność zachodzi, bo 4k+1>2k+3, czyli równoważnie 2k-2>0, co oczywiście zachodzi dla k\geq 3.

Na mocy indukcji nierówność zachodzi \forall k\in\mathbb{N}.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2005, o 11:52 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Zabrze
ok ale ciągle nie rozumiem jak się pozbyłeś 2^k

swoją drogą jeżeli chcemy wykazać prawdziwość dla k+1 to z 2^k>2k+1 otrzymujemy:
2^k+1>2k+3 i jeżeli to wymnożymy obustronnie przez 2 to otrzymamy

2^k+2>4k+6
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2005, o 11:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2973
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Jak już napisałem, mnoże stronami przez 2.

2^k\cdot 2 > (2k+1)\cdot 2
2^{k+1}>4k+2

Jeśli teraz pokażemy, że 4k+2>2(k+1)+1 dla k spełniającego warunki zadania, to dowód będzie zakończony. To też wyżej napisałem :)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2005, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Zabrze
ok teraz wszystko jasne


ps:dzięki za cierpliwość :wink:
Góra
PostNapisane: 15 paź 2005, o 20:32 
Użytkownik
można tu także wykorzystać prawo przechodniości

a>b>c

skoro

Dowód: 2^{k+1}>4k+1>2k+3

to

Wniosek: 2^{k+1}>2k+3

moze cos namieszalem ale nas uczą w ten sposób udowadniać.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja matematyczna-nierówność - zadanie 2  bigbizkit  2
 indukcja matematyczna - pytanie  ZIELONY  2
 Coś (chyba :P) z indukcja związane  jackass  4
 indukcja  Anonymous  1
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl