szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2008, o 21:39 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: lubelskie
Długości boków trójkąta wynoszą a,b,c. Znajdź długość odcinka dwusiecznej kąta naprzeciwko boku c, zawartego w tym trójkącie

Odpowiedź to \frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 cze 2008, o 15:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 745
Lokalizacja: Warszawa
Pewnie da się łatwiej, ale przynajmniej nie trzeba myśleć:

Z tw. o dwusiecznej odcinki wyznaczone na boku c mają długości e=\frac{bc}{a+b} i f=\frac{ac}{a+b} (pierwszy ze strony b, drugi ze strony a). Niech kąt naprzeciwko c będzie 2 \alpha, a szukana dwusieczna d. Z tw. cosinusów e^2 = b^2 + d^2 - 2bd\cos \alpha i f^2 = a^2 + d^2 - 2ad\cos \alpha. Po paru obliczeniach wychodzi to, co podałeś.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2008, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 119
Lokalizacja: Toruń
Korzystasz z tw. o dwusiecznej i tw. Stewarta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2009, o 15:16 
Użytkownik

Posty: 2
a jak obliczyć to z tw. Talesa?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2016, o 18:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 37
Lokalizacja: Polska
Elvis napisał(a):
Pewnie da się łatwiej, ale przynajmniej nie trzeba myśleć:

Z tw. o dwusiecznej odcinki wyznaczone na boku c mają długości e=\frac{bc}{a+b} i f=\frac{ac}{a+b} (pierwszy ze strony b, drugi ze strony a). Niech kąt naprzeciwko c będzie 2 \alpha, a szukana dwusieczna d. Z tw. cosinusów e^2 = b^2 + d^2 - 2bd\cos \alpha i f^2 = a^2 + d^2 - 2ad\cos \alpha. Po paru obliczeniach wychodzi to, co podałeś.

Po jakich obliczeniach? Bo ja się doliczyć nie mogę. :(
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 14 lis 2016, o 21:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 745
Lokalizacja: Warszawa
Zdążyłem zapomnieć.

A tak na serio, to w układzie równań niewiadome są d i \cos \alpha, przy czym to drugie chcemy wyrugować. W związku z tym pierwsze równanie domnażamy przez a, drugie przez b, po czym odejmujemy stronami i rozwiązujemy ze względu na d.

Słabością tego podejścia jest, że po drodze trzeba podzielić przez a-b. Dla a=b dwusieczna dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, więc można obliczyć d na przykład z twierdzenia Pitagorasa.

Skądinąd twierdzenie Stewarta ma podobny dowód - twierdzenie cosinusów stosuje się dla tych samych trójkątów, ale innych boków.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2016, o 19:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 37
Lokalizacja: Polska
Ok, doliczyłem się tego, ale mam jeszcze jedno pytanie.
Jak obliczyłeś e i f ? Bo wiem, że z tw. Stewarta, ale mi znowu nie wychodzi.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 16 lis 2016, o 00:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 745
Lokalizacja: Warszawa
Przecież napisałem, że z twierdzenia cosinusów. Twierdzenie Stewarta jest o długości d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2016, o 18:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 37
Lokalizacja: Polska
Chodzi mi o ten zapis:
Elvis napisał(a):

e=\frac{bc}{a+b} i f=\frac{ac}{a+b} (pierwszy ze strony b, drugi ze strony a).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2016, o 21:37 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
\begin{cases} e+f=c \\ \frac{e}{f} = \frac{b}{a}\end{cases}
Pierwsza równość jest oczywista, druga wynika z twierdzenia o dwusiecznej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Długość dwusiecznej - zadanie 5  cyryl5  3
 Długość dwusiecznej - zadanie 9  bartii  0
 Długość dwusiecznej - zadanie 8  waleckin+n  2
 długość dwusiecznej - zadanie 2  ast3rot  2
 długość dwusiecznej  MaxCorleone  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl