szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 4 lip 2008, o 10:16 
Użytkownik

Posty: 67
Lokalizacja: Katowice
{n \choose 0}+ {n \choose 1}+ {n \choose 2}+...+ {n \choose n-1}  + {n \choose n}  = 2^{n}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2008, o 10:23 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
widzimy, że dla n=0 twierdzenie jest prawdziwe. Załóżmy, że dla pewnego p prawdziwe jest {p \choose 0} + {p \choose 1} + \ldots {p \choose p}=2^p

I teraz:
{p+1 \choose 0} +{p+1 \choose 1} + \ldots +{p+1 \choose p+1}={p \choose 0} + ( {p \choose 0} + {p \choose 1} ) + ({p \choose 1} + {p \choose 2} ) + \ldots + ({p \choose p-1 } +{p \choose p} ) +{p \choose p}= 2 (  {p \choose 0} + {p \choose 1} + \ldots + {p \choose p}) =2\cdot 2^p= 2^{p+1}

zatem na mocy indukcji zupełnej to jest prawda.

korzystam z tego, że {p+1 \choose k+1} ={p \choose k} +{p \choose k+1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2008, o 20:37 
Użytkownik

Posty: 468
Lokalizacja: inąd
Albo opisowo: lewa strona mówi nam, na ile różnych grup 0, 1, 2, 3...n-osobowych wybrać możemy z grupy n-osobowej. Czyli innymi słowy, ile różnych grup wybrać można z grupy n-osobowej. Opisując sytuację inaczej, każda osoba może zostać wybrana lub nie wybrana, zatem mamy 2 opcje w przypadku każdej z n osób, czyli 2^{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2008, o 20:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2658
Lokalizacja: Warszawa
Nie spoczywamy na laurach :D :
2^n=(1+1)^n=1^n \cdot 1^0 \cdot {n \choose 0} + 1^{n-1} \cdot 1^1 \cdot {n \choose 1} + \ldots + 1^0 \cdot 1^n \cdot {n \choose n}= \\ ={n \choose 0} + {n \choose 1} + \ldots + {n \choose n}

Po drodze skorzystałem ze wzoru dwumianowego Newtona.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż prawdziwość wzoru  wikuszka  4
 Wykaż prawdziwość wzoru - zadanie 3  anetka06  1
 Wykaż prawdziwość wzoru - zadanie 4  blade  9
 Wykaż podzielność.  Rohamos  1
 Wykaż indukcyjie równość  KubaG1987  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl