szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2008, o 15:27 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Czarny Potok
Dana jest funkcja f(x) = \frac{x}{(4-x^{2})} gdzie x  \in  \mathbb{R} \backslash \lbrace -2, 2 \rbrace. Wykaż, że zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2008, o 15:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
innymi słowy, należy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej y równanie y=\frac{x}{4-x^2} ma rozwiązanie. przy danym założeniu o x, równanie to jest równoważne równaniu y(4-x^2)=x lub yx^2+x-4y=0. powtórzę - mamy udowodnić, że dla każdego y rzeczywistego, równanie yx^2+x-4y=0 z niewiadomą x ma rozwiązanie. jeżeli y=0, to x=0. jeżeli y<>0, to \Delta=1+4y^2>0 i też ma (nawet 2).

po uwadze sylwka: zauważmy też, że ani 2, ani -2 nie są rozwiązaniami równania - stąd ostateczny wniosek: dla każdego y rzeczywistego istnieje (co najmniej jeden) x taki, że f(x)=y.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 lip 2008, o 19:27 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2677
Lokalizacja: Warszawa
Należy jeszcze pokazać, że dla liczby: -2 i 2 (podstawiając te wartości za x dostaniemy sprzeczny układ dwóch równań z 1 niewiadomą - zatem nie istnieje takie y) nie są jednocześnie pierwiastkami tego równania (gdyż nie należą do dziedziny).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2008, o 01:42 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
Sylwek napisał(a):
Należy jeszcze pokazać, że dla liczby: -2 i 2


To już było i to niejeden raz. Po co sprawdzać coś, co zajść nie może?! Wszak Kolega klaustrofob wyraźnie pisał, iż równania są równoważne.
W trakcie równoważnego przejścia z y=\frac{x}{4-x ^{2}} do y((4-x^2)=x zbiór rozwiązań się nie zmieni.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2008, o 11:58 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2677
Lokalizacja: Warszawa
Tak, słuszna uwaga.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie dziedziny oraz obliczanie najmniejszej wartosci.  birdy1986  12
 Obliczanie wartości funkcji wymiernej w postaci f(x)=a/x  cy3er  6
 Dla jakich wartości parametru m ...  scn  4
 Zbiór wartości funkcji wymiernej-zadanie.  Anonymous  10
 Wykaż (z definicji), że funkcja w przedziale  chef  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl