szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2008, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 375
Lokalizacja: z Polski
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 7^{n}+2 jest podzielna przez 3.

Dowód:

(pominąłem pierwszy warunek, bo nie o niego mi chodzi)

Warunek 2: Prawdziwość implikacji
Założenie:
Własność jest prawdziwa, dla liczby k, czyli liczba 7^{k}+2 jest podzielna przez 3.
Teza:
Własność jest prawdziwa dla liczby k + 1, czyli liczba 7^{k+1}+2 jest podzielna przez 3.

Uzasadnienie. Z założenia wynika, że istnieje taka liczba całkowita a, że:
7^{k} + 2 = 3a


no i tu nie rozumiem jak z założenia wynika ta liczba całkowita? Przecież tam nic o tym nie ma.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2008, o 22:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 666
Lokalizacja: Ustroń
Zakładasz, że ta liczba 7^k+2 jest podzielna przez 3, czyli możesz zapisać 7^k+2=3a dla pewnego całkowitego a. A prawdziwość tezy wynika z tego, że
7^{k+1}+2=7(7^k+2)-12 a to jest różnica dwóch liczb podzielnych przez 3 czyli...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2008, o 22:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2303
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
mozna rowniez zastosowac kongruencje..
mamy:
7\equiv 1 \mod{3}
stad:
7^{n}\equiv 1 \mod{3}
Wowczas:
7^{n}+2\equiv 0 \mod{3}
Zatem:
3|7^{n}+2 dla dowolnego n\in \mathbb{N}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2008, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 375
Lokalizacja: z Polski
żebym to ja wiedział co to jest :p pierwsze słyszę... i tak nie do końca rozumiem tą całą indukcję :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2008, o 23:08 
Użytkownik

Posty: 1420
Lokalizacja: Polska
limes123 napisał(a):
Zakładasz, że ta liczba 7^k+2 jest podzielna przez 3, czyli możesz zapisać 7^k+2=3a dla pewnego całkowitego a. A prawdziwość tezy wynika z tego, że
7^{k+1}+2=7(7^k+2)-12 a to jest różnica dwóch liczb podzielnych przez 3 czyli...


czyli:
7^{n}+2=3k  \Rightarrow 7^{n+1}+2=3l \ \ \ k,l \in C \\
7^{n+1}+2=7 \cdot 7^{n}+7 \cdot 2-6 \cdot 2=7(7^{n}+2)-12=7 \cdot 3k-12=3(7k-12)=3l \wedge l=7k+12
na tym to wszytsko polega

możesz tez zastosować inaczej indukcje:
7^{n}+2=3k  \Rightarrow 7^{n+1}+2=3l \ \ \ k,l \in C \\ 
7^{n+1}+2=7 \cdot 7^{n}+2=(6+1) \cdot 7^{n}+2=6 \cdot 7^{n}+7^{n}+2=6 \cdot 7^{n}+3k=3(2 \cdot 7^{n}+k)=3l \wedge l=2 \cdot 7^{n}+k
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 13 dla określonego wzoru - zadanie 2  mnich9131  4
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 wykazać podzielność przez 6... :(((  domel666  5
 udowodnij podzielnosc przez 7 :)  itosu  1
 suma kątów w n-kącie (udowodnić przez indukcję)  m1h4u  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl