szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2008, o 22:55 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: malopolska
Wykaż, że jeśli a  \in  N i podzielne przez 3, to wyrażenie a^{2} +a jest podzielne przez 6. Jak to wykazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lip 2008, o 23:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
a^2+a=a(a+1) - mamy tu iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych, więc jedna z nich jest parzysta, co za tym idzie iloczyn jest podzielny przez 2. Co więcej ten iloczyn jest wielokrotnością a - ale a jest podzielne przez 3, zatem całość jest podzielna także przez 3, a że 2*3=6, to mamy tezę...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2008, o 05:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
sposób 2, głupawy: a jest albo postaci 6k, albo 6k+3. w pierwszym przypadku a^2+a=a(a+1)=6k(6k+4). w drugim a(a+1)=(6k+3)(6k+4)=3(2k+1)2(3k+2)=6(2k+1)(3k+2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2008, o 10:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2303
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
sposob 3:
zauwazmy, ze:
\forall\  a\in \mathbb{N}
zachodzi:
a^{2}\equiv a \mod{6}
Ponadto mamy, ze: 3|a \iff a=3k
Zatem:
a^2+a\equiv a+a \equiv 2a\equiv 6k\equiv 0\mod{6}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2008, o 10:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
sposób 4: a^2+a=3a^2+3a - (2a^2+2a)=3a(a+1)-2a(a+1). odjemna jest podzielna przez 6: przez 3 widać, przez 2, bo z dwóch kolejnych jedna jest podzielna przez 2; odjemnik z założenia przez 3, przez 2 widać. różnica podzielnych przez 6 jest podzielna przez 6.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2008, o 10:35 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
sposób 5: indukcja
n=3 działa
Załóżmy, że dla k jest k^2+k=6l
Sprawdźmy co jest dla k+3
(k+3)^2+k+3=k^2+6k+9+k+3=6l+6k+12=6(k+l+2).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2008, o 11:03 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: malopolska
klaustrofob napisał(a):
sposób 2, głupawy: a jest albo postaci 6k, albo 6k+3. w pierwszym przypadku a^2+a=a(a+1)=6k(6k+4).


Skąd się wzięło + 4 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2008, o 11:04 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
bo a=6k+3 \Rightarrow a+1=6k+4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2008, o 11:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1984
Lokalizacja: inowrocław
pomyłka, oczywiście powinno być 6k+1. na szczęście to nic nie zmienia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 lip 2008, o 11:23 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: malopolska
Dziekuję za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl