szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lip 2008, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 3920
Lokalizacja: Warszawa
Bardzo często nauczyciele fizyki w szkole średniej wspominają o tym, że woda wirująca w naczyniu w przekroju ma kształt paraboli. Nigdy (a przynajmniej w większości przypadków) jednak nie podają dowodu tego faktu. A to dlatego, że w szkołach nie naucza się rachunku różniczkowego, dzięki któremu łatwo ten fakt uzasadnić. Zatem zapraszam zainteresowanych do czytania.

Rozważmy punkt na brzegu wody (czyli w miejscu styku z powietrzem). Rozważmy jego ruch w układzie nieinercjalnym związanym z tymże punktem. W tym układzie punkt się nie porusza, zatem z pewnością siły nań działające się równoważą. A jakie mamy siły w tym układzie? Oczywiście siłę grawitacji, siłę odśrodkową bezwładności i siłę reakcji powierzchni wody, skierowaną do tej powierzchni prostopadle. Zatem warunkiem koniecznym zerowania się siły wypadkowej jest to, by suma wektorowa siły grawitacji i siły odśrodkowej również byłą prostopadła do owej powierzchni. Dostajemy więc warunek:
\frac{m\omega^2 r}{mg} = \tg\varphi,
gdzie \omega - prędkość kątowa, \varphi - kąt nachylenia powierzchni wody względem poziomu, r - odległość punktu od osi obrotu w rozważanym przekroju.

Wiemy, że tangens kąta nachylenia to nic innego jak pochodna funkcji, otrzymujemy zatem:
\frac{\omega^2 r}{g} = \frac{\mbox{d}z}{\mbox{d}r}.

Dostajemy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Możemy ustalić, że punkt styku wody z powietrzem leżący na osi obrotu ma współrzędną y-ową równą h_0. Zatem rozwiązanie równania prezentuje się tak:
\frac{\omega^2}{g}  \int_{0}^{r} x \mbox{d}x = \int_{h_0}^{z} \mbox{d}y \\
z = \frac{\omega^2}{2g} r^2 + h_0

Zatem istotnie jest to parabola. Ze względu na symetrię łatwo uogólnić kształt przekroju na kształt powierzchni - będzie to paraboloida obrotowa.
Równanie tej powierzchni wygląda tak:
z = \frac{\omega^2}{2g} (x^2 + y^2) + h_0


Uwagi proszę zgłaszać na PW.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 sty 2014, o 23:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1050
Lokalizacja: Białystok|Warszawa
Przedstawię bardziej zaawansowane rozwiązanie tego problemu z wyznaczeniem
    1. rozkładu ciśnienia
    2. równania powierzchni swobodnej (lustra wody)
    3. wysokości lustra wody w osi naczynia znając początkową objętość wody w naczyniu


Odpowiedzi na powyższe zagadnienia otrzymamy rozwiązując równania Eulera, tzn. równania ruchu cieczy nielepkiej (lepkość kinematyczna \nu=0, więc brak naprężeń stycznych).

Dygresja dot. przyjętego założenia o nielepkości cieczy:    


Wychodzimy od równań Eulera w postaci wektorowej: \frac{D\vec{v}}{Dt}=\vec{F}-\frac{1}{\rho}\nabla p

Interpretacja pochodnej substancjalnej:    


Zgodnie z tym co napisał Wasilewski, przyjmiemy układ współrzędnych walcowych, gdzie wyróżniamy dwa kierunki:
    r - wzdłuż promienia naczynia; składowa prędkości u
    z - wzdłuż osi naczynia; składowa prędkości w

Zapiszmy równania Eulera oddzielnie dla każdego kierunku:

\begin{cases} \frac{Dw}{Dt}=-g-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \\ \frac{Du}{Dt}= \omega^2r-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} \end{cases}

Interesuje nas przypadek, gdy naczynie osiągnęło docelową prędkość kątową, wtedy płyn nie porusza się względem niego: u=w=0. Pochodne substancjalne się zerują i otrzymujemy następujące zależności

\begin{cases} \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g \\ \frac{\partial p}{\partial r} = \rho\omega^2r \end{cases}

Wyznaczenie rozkładu ciśnienia


Powyższe pochodne cząstkowe wykorzystamy w różniczce ciśnienia. Ciśnienie jest funkcją zarówno współrzędnej r jak i z, stąd na podstawie reguły łańcuchowej dla funkcji wielu zmiennych jego różniczka ma postać:

dp = \frac{\partial p}{\partial r}\,dr+\frac{\partial p}{\partial z}\,dz \quad\iff\quad dp = \rho\omega^2r\,dr-g\rho\,dz

Scałkujmy obustronnie

\int dp = \int\rho\omega^2r\,dr-\int g\rho\,dz

Otrzymamy zależność na ciśnienie p=p(r,z)

p(r,z) = \frac{1}{2}\rho\omega^2r^2-\rho gz+C

Wynik całkowania jest niejednoznaczny, bowiem stała C może przybrać dowolną wartość rzeczywistą. Potrzebujemy warunku brzegowego, podobnie jak u Wasilewskiego przyjmiemy, że lustro wody przecina oś obrotu na wysokości h_0 i ma wartość ciśnienia atmosferycznego p_{atm}:

p(0,h_0) = p_{atm} \quad\iff\quad \frac{1}{2}\rho\omega^20^2-\rho gh_0 + C = p_{atm} \quad\iff\quad C = p_{atm} + \rho gh_0

Wzór na rozkład ciśnienia w naczyniu wirującym z prędkością kątową \omega

p(r,z) = p_{atm} + \frac{1}{2}\rho\omega^2r^2 -\rho g(z -h_0)

Wyznaczenie równania powierzchni swobodnej


Równanie powierzchni swobodnej otrzymamy wykorzystując fakt, że ciśnienie na niej równa się ciśnieniu atmosferycznemu p(r,z) = p_{atm}

p_{atm} = p_{atm} + \frac{1}{2}\rho\omega^2r^2 -\rho g(z -h_0) \quad\iff\quad z = \frac{\omega^2}{2g}r^2 + h_0

Wyznaczenie wysokości lustra wody w osi naczynia


Oznaczamy wysokość cieczy w naczyniu przed rozpoczęciem ruchu obrotowego jako H, natomiast promień podstawy walca jako R.
Objętość cieczy w naczyniu równa się V_0=\pi R^2H
Jeżeli płyn nie wyleje się podczas rozkręcania naczynia do prędkości obrotowej \omega, to objętość pozostaje identyczna jak w chwili początkowej. Znamy również kształt powierzchni swobodnej w ruchu obrotowym naczynia, stąd możemy przy wykorzystaniu całkowania wyznaczyć niewiadomą wysokość h_0.
Całkować będziemy po elementarnych wycinkach walcowych o grubości dr, ich objętość dV = 2\pi rz(r)dr

V = 2\pi\int_0^Rz(r)rdr = 2\pi\int_0^R\left(\frac{\omega^2}{2g}r^3 + h_0r\right)dr = \pi h_0R^2+\frac{\pi}{4}\frac{\omega^2}{g}R^4

Porównujemy wynik z objętością początkową:

V_0 = V \quad\iff\quad \pi R^2H = \pi h_0R^2+\frac{\pi}{4}\frac{\omega^2}{g}R^4 \quad\iff\quad h_0 = H - \frac{\omega^2}{4g}R^2

Wstawiając otrzymaną wysokość do wzoru na ciśnienie i powierzchnię swobodną otrzymujemy ostatecznie:

\hline
\hline
Rozkład ciśnienia w naczyniu walcowym wirującym z prędkością kątową \omega, o promieniu podstawy R i wysokości początkowej cieczy H

p(r,z) = p_{atm} + \frac{1}{4}\rho\omega^2\left(2r^2-R^2\right) + \rho g(H-z)

\hline
Równanie powierzchni swobodnej cieczy

z(r) = H + \frac{\omega^2}{4g}\left(2r^2-R^2)

\hline
\hline

Uwaga: Prędkość kątowa \omega musi być odpowiednio dobrana do wysokości naczynia L, w przeciwnym przypadku podczas obracania ciecz wypłynie. Aby sprawdzić ten warunek wystarczy obliczyć położenie powierzchni swobodnej na ściance, tzn. musi być spełniona nierówność z(R) < L.


Sugerowana literatura
    1. Wyprowadzenie równania Eulera - N. S. Arżanikow, W. N. Malcew, Aerodynamika, PWN, Warszawa 1959, s. 90-94
    2. Wyjaśnienie pochodnej substancjalnej - J. D. Anderson, Fundamentals of aerodynamics, Mcgraw Hill, 2001, s. 134
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 O ile cm podniesie się poziom wody w naczyniu?? zadanie  red-v  2
 Wysokość poziomu wody w kieliszku po odlaniu 50% napoju  Bumol  3
 Zasolenie wody  Spongebob1000  1
 Podgrzewanie wody w basenie  leszman  7
 Zasolenie wody w Morzu MArtwym  maciekcK  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl