szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sie 2008, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 94
Lokalizacja: gdańsk
Jeden z "wspaniałych" podręczników oferuje przykładowe zadanie i rozwiązanie do niego. Coś musiało zostać pominięte w rozwiązaniu, ponieważ z kolegami nie możemy dojść, skąd oni wzięli te liczby. Podpowiecie?

Przykład: Liczba naturalna a przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2, a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1. Jaką liczbę otrzymamy z dzielenia liczby a przez 20? I oto rozwiązanie, jakie nam oferują:

Liczbę a która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2 zapiujemy a=4n+2, gdzie n \in N i n=5k+r, gdzie k \in N i r \in {0,1,2,3,4}. Skąd to się wzięło?!?! Skąd zdanie "i n=5k+r, gdzie k \in N i r \in {0,1,2,3,4}". I dalej a=4(5k+r)+2 ... wiadomo.

Czuję narastającąfrustrację. poóżcie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2008, o 20:11 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
Po prostu w taki sposób można przedstawić każdą liczbę naturalną, więc w szczególności także n ;)

[ Dodano: 28 Sierpnia 2008, 21:24 ]
A poza tym co jest dalej?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sie 2008, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 94
Lokalizacja: gdańsk
Nie, nie, nie... ja pytam, skąd to 5k+r.

Każdą liczbę naturalną możemy przedstawić w następujący sposób: a=b \cdot q+r
gdzie a \in N, q \in N, r \in N, b \in N (bez 0) Skąd więc to 5? I dlaczego wg. nichr \in {0,1,2,3,4}} Jak im się to urodziło?!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 sie 2008, o 21:49 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
wikuszka napisał(a):
Każdą liczbę naturalną możemy przedstawić w następujący sposób: a=b q+r

więc w szczególności dla b=5. Tą liczbę można sobie dowolnie wybierać w zależności od potrzeb, trzeba jednak pamiętać, że 0 \leqslant r.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 sie 2008, o 21:58 
Użytkownik

Posty: 94
Lokalizacja: gdańsk
Tak, oczywiście, tylko ja usiuję dociec, dlaczego b=5, dlaczego wybrano właśnie tę liczbę, w tym miejscu, i skąd wiadomo, że jeśli a=4n+2 to n =5k+r ?

Dalej rozwiązanie wygląda następująco:

Zatem a=4(5k+r) + 2 = 20k +4r +2 czyli reszta z dzielenia liczby a przez 20 jest równa 4r+2. Reszta 4r+2, gdzie r \in {0,1,2,3,4} jest elemetem zbioru A={2,6,10,14,18}. Spośród elementów zbioru A jedynie liczba 6 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, więc reszta z dzielenia lizcby a przez 20 jest równa 6.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 wrz 2008, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
wikuszka napisał(a):
Jeden z "wspaniałych" podręczników oferuje przykładowe zadanie i rozwiązanie do niego. Coś musiało zostać pominięte w rozwiązaniu, ponieważ z kolegami nie możemy dojść, skąd oni wzięli te liczby. Podpowiecie?

Przykład: Liczba naturalna a przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2, a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1. Jaką liczbę otrzymamy z dzielenia liczby a przez 20? I oto rozwiązanie, jakie nam oferują:

Liczbę a która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2 zapiujemy a=4n+2, gdzie n \in N i n=5k+r, gdzie k \in N i r \in {0,1,2,3,4}. Skąd to się wzięło?!?! Skąd zdanie "i n=5k+r, gdzie k \in N i r \in {0,1,2,3,4}". I dalej a=4(5k+r)+2 ... wiadomo.

Czuję narastającąfrustrację. poóżcie.

Też takie coś czuję.. Jest na to lekarstwo, np. napić się.
Teraz do zadania. Nie rozumiem dlaczego w prrzykładowym rozwiązanie zamieniono 1 na r.
Mamy z danych zadania
a=4n+2 \ i \ a=5k+1, \ n,k \in N.
Zauważmy, że pomocą wzoru 5k+1, \ k \in N... nie można przedstawić dowolnej liczby naturalnej. No to teraz wiem, po co było r. Wracam do trochę zmienionego punktu startowego.

(*) \ a=4n+2 \ i \ (**) \ a=5k+r, \ n,k \in N, \ r=0,1,2,3,4.
Zauważmy, że za pomocą wzoru 5k+r, \ k \in N, \ r=0,1,2,3,4 można przedstawić dowolną liczbę naturalną, a więc i n. Podstawiam n=5k+r, \ k \in N, \ r=0,1,2,3,4 do (*). Dostaję
a=4(5k+r)+2=20k+4r+2, \ k \in N, \ r=0,1,2,3,4.
Powyższa liczba dzieli się przez 4 z resztą 2. Ma się jeszce dzielić przez 5 z resztą 1.
\frac{20k+4r+2}{5}=4k+\frac{4r+2}{5}
Tak więc taką liczbą musi być5r+1. Podstawiam kolejno dopuszczalne wartości r i dostaję dla r=0 -2, r=1- 6, r=2 -10,r=3 - 14, r=4 -18. Druga z tych wartości ma szukaną własność. Ergo r=1 i szukana reszta wynosi 4 \cdot r+2=6.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 14:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 666
Lokalizacja: Ustroń
Mozna tez w inny (chyba prostszy sposob)->
skoro daje reszte 2 z dzielenia przez 4, to jest jednej z postaci
20k+2, 20k+6,20k+10,20k+14,20k+18
analogicznie jest jednej z postaci
20l+1,20l+6,20l+11,20l+16
i widzimy, że w obu przypadkach powtarza się tylko postac 20l+6 -> czyli takiej postaci musi byc liczba wyjsciowa. Nie wiem czy da sie tak rozwiazac kazde zadanie tego typu, ale w tym ladnie widac o co chodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 14:13 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
limes123, oczywiście ten sposób zawsze działa, jednak przy dużych liczbach jest trochę przypadków...
Zróbmy więc tak:
\begin{cases} a \equiv 2 (mod 4) \\ a \equiv 1 (mod 5) \end{cases}
\begin{cases} 5a \equiv 10 (mod 20) \\ 4a \equiv 4 (mod 20) \end{cases}
a=5a-4a \equiv 10-4 \equiv 6 (mod 20).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 14:26 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
frej napisał(a):
limes123, oczywiście ten sposób zawsze działa, jednak przy dużych liczbach jest trochę przypadków...
Zróbmy więc tak:
\begin{cases} a \equiv 2 (mod 4) \\ a \equiv 1 (mod 5) \end{cases}
\begin{cases} 5a \equiv 10 (mod 20) \\ 4a \equiv 4 (mod 20) \end{cases}
a=5a-4a \equiv 10-4 \equiv 6 (mod 20).


Nie negjuję poprawności rozwiązanai zaprezentowanego przez Kolegę. Chcę tylko zwrócić uwagę, ze jest to zadanie prawdopodobnie z liceum, gdzie (chyba?) nie ma w programie kongruencji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 14:48 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
JankoS, jestem świadomy tego, że autor postu nie zna kongruencji, z tego powodu nie napisałem tego wcześniej. Rozwiązanie zamieściłem, ponieważ być może przyda to się komuś, niekoniecznie autorowi :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 wrz 2008, o 18:02 
Użytkownik

Posty: 3101
Lokalizacja: Zarów
frej napisał(a):
być może przyda to się komuś, niekoniecznie autorow

Tak jest. Jest mi przykro, że nie pojąłem intencji Kolegi. Przepraszam i pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 33  Anonymous  2
 Zmieniamy cyfry dziesiątek i jednosci - co to za liczba ?  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl