szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2008, o 17:23 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: kraków
Witam, proszę o pomoc z zadaniem:
Znajdź liczby dla jakich zachodzi nierówność i udowodnij ją indukcyjnie:
2^{n} < n!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2008, o 18:02 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
n \geqslant 4. Dalej powinno być łatwo.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 wrz 2008, o 22:09 
Użytkownik

Posty: 760
Lokalizacja: z Lublina
Sprawdzamy dla n=4.
...
Zgadza się, zkładamy, że jest prawdziwe dla n+1
2 ^{n+1}
Odejmując od obu stron nierówność początkową otrzymujemy:
2 ^{n}
Ponownie odejmując od obu stron nierówność początkową (Można to zrobić za jednym razem)otrzymujemy:
1 Co oczywiście jest spełnione.

c.n.d.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2008, o 22:21 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2680
Lokalizacja: Warszawa
Nie rozumiem kroku indukcyjnego, dlaczego w kroku indukcyjnym "cofasz się" zamiast z prawdziwości dla n wywnioskować prawdziwość dla n+1?

Założenie: n!>2^n
Dowód: (n+1)!=(n+1)n!>2n!>2\cdot 2^n=2^{n+1}.
Korzystałem po drodze tylko z n+1>2 oraz z założenia indukcyjnego.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 wrz 2008, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 760
Lokalizacja: z Lublina
Dlaczego nie można przekształcić nierówności, którą chcemy udowodnić, do postaci, z której będzie wynikać prawdziwość tezy? Albo coś nie czaję...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2008, o 22:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2680
Lokalizacja: Warszawa
MagdaW napisał(a):
Zgadza się, zkładamy, że jest prawdziwe dla n+1
Z tego założenia udowadniasz, że ta nierówność jest prawdziwa dla wszystkich k\begin{cases}10>9 \\8>1 \end{cases}

"Odejmujemy stronami": 10-8>8-1 \iff 2>7 ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2008, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 3102
Lokalizacja: Zarów
MagdaW napisał(a):
Dlaczego nie można przekształcić nierówności, którą chcemy udowodnić, do postaci, z której będzie wynikać prawdziwość tezy? Albo coś nie czaję...

Można, tylko przekształcenia muszą być równoważne. W dodatku u Koleżanki (pomijając nierównoważność przekształceń) na końcu "wyszło" zdanie fałszywe.

[ Dodano: 16 Września 2008, 20:23 ]
Sylwek napisał(a):
Z tego założenia udowadniasz, że ta nierówność jest prawdziwa dla wszystkich k
Ja tam nie widzę tego dowodu, co najwyżej próbę.
Cytuj:
A gdzie dowód, że z prawdziwości twierdzenia dla n+1 wynika jego prawdziwość dla n+2? [/tex]

Nie musi być dowodu wprost. Równiie dobrze można dowieść niewprost lub przez sprowadzenie do sprzeczności. W matematycznym kółu przedszkolnym można ułożyć (za profesorem Steienhausem) w rzędzie kostki domina w odległości mniejszej niż ich wysokości i przewrócić ostatnią.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Uogólniona nierówność Bernoulliego  Anonymous  10
 wykaż, że: (a+b)^n <= 2^(n-1) (a^n + b^n)  ambrozy  2
 indukcja matematyczna-nierówność  Qasi  5
 Nierówność-indukcja-jak?  Kaszim  6
 Nierównosci - udowodnic indukcyjnie.  gosiunia1234  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl