szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2008, o 09:15 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Limanowa
Zadanie: 1).

Wyznacz objętość bryły, ograniczonej powierzchniami: od góry: x^{2} + y ^{2} = 5 - z^{2}
od dołu: x ^{2} + y ^{2} = 2z.

Zadanie: 2).

Obliczyć długość łuku krzywej:
x(t) = e ^{-t}cost
y(t) =  e ^{-t}sint
t  \in  [0; + \infty)

Zadania: 3).
Stosując tw. Greena obliczyć: \int_{L} (ysin(xy) + xe ^{x})dx + (xsin(xy) + 2x +  \frac{1}{2}x ^{2}y)dy
po krzywej x ^{2} + y ^{2} = 4y skierowanej dodatnio.

Dzięki za pomoc, Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2008, o 12:51 
Użytkownik

Posty: 6607
1. Mamy podany zakres zmian zmiennej z. Trzeba znalezc rzut przeciecia sie tych plaszczyzn na plaszyzne OXY:
\begin{cases}
x^2+y^2+z^2=5\\
z=\frac{x^2+y^2}{2}\end{cases}\\
x^2+y^2+\left( \frac{x^2+y^2}{2} \right)^2=5\\
4(x^2+y^2)+(x^2+y^2)^2=20\\
x^2+y^2=t\;\; t>0\\
t^2+5t-20=0\\
\Delta=25+80=105\\
t=\frac{-5+\sqrt{105}}{2}\\
x^2+y^2=\frac{-5+\sqrt{105}}{2}\\
S=(0,0)\; r=\sqrt{ \frac{\sqrt{105}-5}{2} }\\

Nie wiem czemu, ale tak dziwnie to wychodzi :/ Teraz aby znalezc objetosc wprowadzamy np. wspolrzedne biegunowe i liczymy z calki podwojnej, lub cylindryczne i z potrojnej. Zrobmy to pierwsze:
|V|=\iint\limits_{D}\left(\sqrt{5-x^2-y^2}-\frac{x^2+y^2}{2} \right)\mbox{d}x\mbox{d}y\\
\begin{cases}
x=\rho\cos\varphi\\
y=\rho\sin\varphi\\
|J|=\rho
\end{cases}\\
\varphi\in[0;2\pi]\\
\rho\in\left[0; \sqrt{ \frac{\sqrt{105}-5}{2} }\right]\\
|V|=\int\limits_{0}^{2\pi}\mbox{d}\varphi \int\limits_{0}^{ \frac{\sqrt{105}-5}{2} }} \rho\left( \sqrt{5-\rho^2}-\frac{\rho^2}{2}\right)\mbox{d}\rho=\ldots



2. Dlugosc luku danego wzorem parametrycznym jest obliczana ze wzoru:
[Blad w formule, skoryguj!]




3. Twierdznie Greena pewnie znasz, wiec napisze tylko wzor, z ktorego tutaj skorzystam:
\int\limits_{K}^{} P(x,y) \mbox{d}x + Q(x,y) \mbox{d}y =
\iint\limits_{D}^{}
\left ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right ) \mbox{d}x\mbox{d}y\\

Teraz zgodnie z tym wzorem obliczamy:
P(x,y)= y\sin(xy) + xe ^{x}\\
Q(x,y)= x\sin(xy) + 2x + \frac{1}{2}x ^{2}y\\
\frac{\partial Q}{\partial x}=\sin(xy)+xy\cos(xy)+2+xy\\
\frac{\partial P}{\partial y}=\sin(xy)+xy\cos(xy)\\
\mathcal{I}=
\iint\limits_{D}^{} \left(\sin(xy)+xy\cos(xy)+2+xy-\sin(xy)-xy\cos(xy) \right) \mbox{d}x\mbox{d}y=
\iint\limits_{D}^{} \left(2+xy\right) \mbox{d}x\mbox{d}y\\
D:\;\;\{\;(x,y):\;x^2+y^2\leqslant 4y\;\}\\

Teraz do latwiejszego obliczenia mozna wstawic wspolrzedne biegunowe:
\begin{cases}
x=\rho\cos\varphi\\
y=\rho\sin\varphi\\
|J|=\rho
\end{cases}\\
\varphi\in[0;\pi]\\
x^2+y^2\leqslant 4y\\
\rho^2\leqslant 4\rho\sin\varphi\\
\rho\leqslant 4\sin\varphi\\
\rho\in[0;4\sin\varphi]\\
\mathcal{I}=\int\limits_{0}^{\pi}\mbox{d}\varphi \int\limits_{0}^{4\sin\varphi}\rho(2+\rho^2\cos\varphi\sin\varphi)\mbox{d}\rho=\ldots

Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2008, o 13:20 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Limanowa
Właśnie to z tw. Greena byłoby jeszcze zrozumiale poza tym przedziałem dla fi?? Skąd wiesz że to taki przedział, zawsze mam z tym problem :/ więc jakbyś mi wyjaśnił, byłbym zobowiązany.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2008, o 13:45 
Użytkownik

Posty: 6607
Mala zmiana przy tym kacie. Oczywiscie kat powinien byc w takich granicach jakie sa teraz. A wynika to wprost z rysunku :) Kolo jest nad osia OX styczne do niej. Jest wiec w dwoch pierwszych cwiartkach calkowicie. Kat jest wiec od 0, do 'konca osi OX', wiec do kata rownego 180 stopni. Jesli kolo by bylo dalej od poczatku ukladu wspolrzednych, to wtedy juz z miejsca sie tego przewaznie nie da wyznaczyc. Trzeba wtedy wstawic przesuniete wspolrzedne. W tym przypadku oczywiscie tez mozna wstawiajac:
\begin{cases}
x=\rho\cos\varphi\\
y=\rho\sin\varphi+2\\
|J|=\rho
\end{cases}\\
\varphi\in[0;2\pi]\\
\rho\in[0;2]\\

No imamy nawet nie wiem czy nie latwiej liczyc :) Tylko nalezy pamietac, zeby wstawic do wzoru funkcji po ktorej calkujemy rowniez te wspolrzedne. Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2008, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Limanowa
no czyli kąt powinen być od (0, \pi) ??
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2008, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 6607
Tak. Wlasnie teraz tak poprawilem. Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka po krzywej skierowana - jak to rozwiązać?  freeze2  1
 Sformułuj i skomentuj twierdzenie Stokesa.  MadziaNDZ  2
 Twierdzenie Greena  mateuszk  8
 Twierdzenie Greena - dowód?  rObO87  2
 Twierdzenie Greena ze zwykłej funkcji  Kaktusiewicz  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl