szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2008, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Sulejów
Wykaż że jeśli dwie liczby naturalne przy dzieleniu przez 5 mają równe reszty, to różnica kwadratów tych liczb jest podzielna przez 5. Proszę o pomoc w tym zadaniu....
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2008, o 21:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 76
Lokalizacja: Śląsk
Zapisujemy te dwie liczby jako:
5k+r
5l+r

k,l- liczby naturalne,k>l
r- reszta z dzielenia każdej liczb przez 5 0 \leqslant r

i obliczamy różnicę ich kwadratów:
(5k+r)^2- (5l+r)^2= 25k^2+r^2+10kr-25l^2-r^2-10rl=25(k^2-l^2)+10r(k-l)=5[5(k^2-l^2)+2r(k-l)]

Przedstawiliśmy zatem szukaną liczbę jako wielokrotność 5, a więc jest ona podzielna przez 5 ;)

Pozdrawiam,
Jacek
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2008, o 21:02 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1822
Lokalizacja: WLKP
Z kongruencji
a \equiv x(mod 5) \iff a^2 \equiv x^2 (mod 5) \\
b \equivx (mod 5) \iff b^2 \equiv x^2 (mod 5)

Teraz a^2-b^2=x^2-x^2 \equiv 0 (mod 5)

c.n.d.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 5 - zadanie 3  TwojaKotQ  1
 Podzielność przez 5  WhiteRabbit7  3
 podzielność przez 5 - zadanie 6  Diofantos  5
 Podzielność przez 5 - zadanie 8  rafal20  6
 Podzielność przez 5 - zadanie 2  Fixwell  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl