szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2008, o 17:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 369
Lokalizacja: Szczyrk
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwe są wzory:
a) 1-2+3-4+...-2n+(2n+1)=n+1
b) 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}

Jeśli chodzi o przykład a) to dowodząc tezę indukcyjną wychodzi mi że k+1=k+2
Natomiast w przykładzie b) nie za bardzo wiem jak się pozbyć "kropek" z prawej strony tezy indukcyjnej.
Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2008, o 18:02 
Użytkownik

Posty: 326
Lokalizacja: Warszawa
b)
1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2=(\frac{n(n+1)}{2})^2\\
1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2\\
(\frac{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3=(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2
Teraz już chyba rozumiezs ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2008, o 18:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 369
Lokalizacja: Szczyrk
chris139 napisał(a):
b)
1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2=(\frac{n(n+1)}{2})^2\\
1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2\\
(\frac{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3=(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2
Teraz już chyba rozumiezs ;)


Heh, to co podstawiłeś za prawą stronę udawadniałem godzinę temu :P Ale teraz już będę pamiętał że można się posłużyć innymi wzorami :) Wielkie dzięki :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 wrz 2008, o 18:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1010
Lokalizacja: Bytom/Katowice
b) 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}

1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left(\frac{n^{2}+n}{2}\right)^{2}

1. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1:

L=1, P=1, czyli L=P

2.

Założenie indukcyjne: n=k

1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=\left(\frac{k^{2}+k}{2}\right)^{2}

Chcemy udowodnić, że wzór jest prawdziwy dla liczby następnej: n=k+1

Teza indukcyjna:

1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=\left[ \frac{(k+1)^{2}+(k+1)}{2}\right]^{2}

Dowód tezy indukcyjnej:

L=\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}}_{\left(\frac{k^{2}+k}{2}\right)^{2}}+(k+1)^{3}=\left(\frac{k^{2}+k}{2}\right)^{2}+(k+1)^{3}=

=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+\frac{4(k+1)^{3}}{4}=\frac{(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}=

=\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^{2}=\left[\frac{(k+1)^{2}+(k+1)}{2}\right]^{2}=P

Wobec tego na mocy zasady indukcji matematycznej, wzór 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2} jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej n\geq 1.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 wrz 2008, o 20:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1680
Lokalizacja: Poznań
a)
Sprawdzenie...

Założenie n=k:
1-2+3-4+...-2k+(2k+1)=k+1

Teza: dla n=k+1:
1-2+3-4+...-2k+(2k+1)-(2k+2)+(2k+3)=k+2

Dowód:
L=\underbrace{1-2+3-4+...-2n+(2k+1)}_{k+1}-(2k+2)+(2k+3)=k+1-(2k+2)+(2k+3)=k+2=P
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja matematyczna dla dwóch zmiennych  bartek11223345  1
 Udowodnij korzystajac z indukcji amtematycznej.  bekisssablex3  7
 Indukcja matematyczna - zadanie 42  martin_bar  1
 Indukcja matematyczna w podzielności  Chomiczeq  2
 indukcja matematyczna - zadanie 6  MarlenQs  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl