szukanie zaawansowane
 [ Posty: 852 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1 ... 53, 54, 55, 56, 57
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 cze 2018, o 01:05 
Użytkownik

Posty: 1348
Najfajniejsze i najkrótsze znane mi rozwiązanie polega na użyciu AM-GM i odpowiednim rozdystrybuowaniu (czterech) składników w każdym z dwóch wyjściowych nawiasów, a następnie na skorzystaniu z nierówności C-S. (RODO!)

EDIT: Licząc się z możliwością otrzymania warna usuwam część wiadomości, na którą odpowiedź została wymoderowana. Kto miał przeczytać, to już to zrobił, a ja uznałam, że pozostawienie jej stoi w sprzeczności z ogólną rolą edukacyjną tego wątku i tego forum.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2018, o 02:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
[ciach]

A co do nierówności znowu zarzucę Rochaja bo mi się podoba:

Z: (a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2)=27

a, b, c \ge 0

T: \sqrt{a^2+3b^2}+  \sqrt{b^2+3c^2}+  \sqrt{c^2+3a^2} \ge 6

źródło:

https://www.matematyka.pl/420322.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lip 2018, o 20:43 
Użytkownik

Posty: 12530
Sorry za OT, ale przypomnę pewną inicjatywę:
84787,495.htm#p4843638
Przy czym z uwagi na to, że niektórzy po prostu rzadko mają czas, a i niektóre zadania mogą wymagać więcej czasu do zastanowienia, proponuję z tego zrobić miesiąc. Potem zadający mógłby wrzucić jakieś mocne hinty, a jak woli, to i rozwiązanie. Takie propozycje już niejednokrotnie się pojawiały, por.
418511.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lip 2018, o 10:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1437
Lokalizacja: Katowice
no to żeby odblokować łańcuszek zarzucam nowe zadanie:
a,b,c>0 \implies \frac{a}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac 32
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2018, o 10:46 
Użytkownik

Posty: 12530
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2018, o 12:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1437
Lokalizacja: Katowice
@up:    
wrzuć nowe zadanie, proszę
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2018, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 12530
Wow, dobre.

Nowe zadanie: dla a,b,c dodatnich proszę wykazać, że
\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge (a+b+c)\left( \frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2018, o 22:17 
Użytkownik

Posty: 121
Lokalizacja: Zamość
Rozwiązanie:    


Nowe zadanie:
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d, e zachodzi nierówność: \frac {a^2}{2} + \frac {b^4}{4} + \frac {c^8}{8} + \frac {d^{16}}{16} + \frac {e^{32}}{32} \ge abcde - \frac{1}{32}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2018, o 22:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6365
Ukryta treść:    



\bigwedge\limits_{a,b\in \NN_+} \frac{1}{ \sqrt[a]{b} }+ \frac{1}{  \sqrt[b]{a} } >1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2018, o 23:20 
Użytkownik

Posty: 12530
Ukryta treść:    


-- 23 lip 2018, o 22:44 --

Nowe:
niech a_1, a_2, \ldots a_{2011} będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech
a_1+a_2+\ldots+a_{2011}=\frac{2011}{2}
Przyjmujemy też a_{2012}:=a_1. Proszę udowodnić, że
\left|  \prod_{k=1}^{2011}(a_{k+1}-a_{k}) \right|\le \frac{3\sqrt{3}}{16}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2018, o 23:47 
Użytkownik

Posty: 5608
Lokalizacja: Kraków
Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sie 2018, o 12:03 
Użytkownik

Posty: 12530
pedał napisał(a):
niech a_1, a_2, \ldots a_{2011} będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech
a_1+a_2+\ldots+a_{2011}=\frac{2011}{2}
Przyjmujemy też a_{2012}:=a_1. Proszę udowodnić, że
\left|  \prod_{k=1}^{2011}(a_{k+1}-a_{k}) \right|\le \frac{3\sqrt{3}}{16}


To zadanie chyba jest za trudne (co ciekawe, zdaje się, że można je uogólnić na dowolne n nieparzyste i większe niż 1), dajmy sobie z nim spokój. Pochodzi ono z finału brazylijskiej olimpiady matematycznej z roku 2011 (nie zrobiłem, tylko trafiłem na rozwiązanie, ale myślałem, że będzie fajna rozrywka dla twardszych zawodników stąd). Tutaj macie rozwiązanie:
https://artofproblemsolving.com/communi ... 49p2473608

Ewentualnie gdyby ktoś miał jakiś niecodzienny pomysł, to proszę śmiało wrzucać.

Nowe zadanie, tym razem w mojej opinii bardziej stonowane (mam nadzieję, że jeszcze nie było):
niech a,b,c>0. Proszę udowodnić, że
\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 852 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1 ... 53, 54, 55, 56, 57


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Nierówności] Nierówność ze środkowymi  lukasz_650  2
 [Nierówności] Nierówność z jedynką  mol_ksiazkowy  1
 [Nierówności] trójkąt ostrokątny - zadanie 15  robin5hood  2
 [Nierówności] Lemacik w trójkącie  mol_ksiazkowy  3
 [Nierówności] Nierówność z silnią - zadanie 7  Paulpentax  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl