szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2008, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Witam.

Wykaż, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c liczba a^{3} + b^{3} + c^{3} jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a + b + c jest podzielna przez 6.

Wiemy, że a^{3}-a=(a-1)a(a+1), analogicznie z b i c.
Z tego zapisu można wywnioskować, że a^{3}-a jest podzielne przez 6 jako iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.
Po zsumowaniu lewej strony dla każdej z liczb mamy: a^{3} + b^{3} + c^{3} - a - b - c =a^{3} + b^{3} + c^{3} - (a + b + c)
Więc liczba ta też jest podzielna przez 6...
Czuję, że jestem blisko, ale nie mogę wpaść na to, jak to udowodnić.

Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2008, o 20:07 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
z tego co napisałeś:
a ^{3} -a + b ^{3} -b +c ^{3} -c=6k+6l+6m = 6  \left( klm \right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2008, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
smigol - hm.... źle się chyba wyraziłem :) Nie potrzebuję dowodu na to, że te liczby po zsumowaniu będą podzielne przez 6 (ale oczywiście dzięki :) ), tylko dowodu tezy przedstawionej w treści zadania.... :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 paź 2008, o 20:58 
Użytkownik

Posty: 760
Lokalizacja: z Lublina
Wskazówka:
Różnica dwóch liczb jest podzielna przez n, wtedy i tylko wtedy, gdy odjemna i odjemnik dają takie same reszty przy dzieleniu przez n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 paź 2008, o 21:00 
Użytkownik

Posty: 261
Lokalizacja: Kruszyny
Zauwazyles ze a^{3}-a+b^{3}-b+c^{3}-c=6k Wiesz tez ze a+b+c=6m Zatem a^{3}+b^{3}+c^{3}=6k-(a+b+c)=6k-6m=6(k-m) wiec faktycznie jesli a+b+c jest podzielne przez 6 to takze a^{3}+b{^3}+c^{3} jest podzielne przez 6
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 paź 2008, o 10:17 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Aj, no tak, nie myślę już chyba :) Wielkie dzięki :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sty 2009, o 19:35 
Użytkownik

Posty: 569
Lokalizacja: BK
szablewskil napisał(a):
Zauwazyles ze a^{3}-a+b^{3}-b+c^{3}-c=6k Wiesz tez ze a+b+c=6m Zatem a^{3}+b^{3}+c^{3}=6k-(a+b+c)=6k-6m=6(k-m) wiec faktycznie jesli a+b+c jest podzielne przez 6 to takze a^{3}+b{^3}+c^{3} jest podzielne przez 6


Może jesteś ślepy albo głupi ale wydaje mi się, że powinno być 6k+6m.. Wyprowadzicie mnie z błędu? :d
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 sty 2009, o 19:44 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1464
Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
Ani ślepy, ani głupi, za to spostrzegawczy, rzeczywiście powinno być 6(k+m), ale to mało zmienia w samym rozwiązaniu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 sty 2009, o 16:55 
Użytkownik

Posty: 569
Lokalizacja: BK
Rozwiązania to nie rusza, ale coś mi nie pasowało:d
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Dowód na poprawność zasady podzielności przez 9  magik100  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl