szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2008, o 20:14 
Użytkownik

Posty: 56
Lokalizacja: Chotomów
Witam. Oto zadanie, z którym mam problem. Nie za bardzo wiem jak się za nie zabrać - wg. mnie rozwiązaniem jest nieskończoność, ale najprawdopodobniej jest to zbyt prosta odpowiedź :P

Ile rozwiązań ma równanie x_{1}+x_{2}+...+x_{k}=n, gdzie każde x_{i} jest całkowite dodatnie?

Proszę o odpowiedź z w miarę dokładnym przedstawieniem rozumowania...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 paź 2008, o 17:55 
Gość Specjalny

Posty: 2826
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Na forum jest na pewno rozwiązanie tego zadania dla ustalonego k. Poszukaj, a później zsumuj dla k\leq n, ponieważ k nie może przekraczać n.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 paź 2008, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 1874
Lokalizacja: Lost Hope
Nie jest jasne, czy k jest tu ustalone, czy rozwazamy \leqslant k liczb x_i, czy tez w ogole wszystkie mozliwe, czyli po wszystkich k \leqslant n.

Rozwiaze wiec wszystkie 3 przypadki, sa one zreszta niemal identyczne.

Najpierw przypadek: liczb x_ijest co najwyzej k.

Ustawiamy w rzadku n+k malych miskow.
Nastepnie wybieramy sposrod nich k, ktorym wkladamy na glowki kapelusiki. Liczby x_n to liczby miskow pomiedzy miskami w kapelusikach. W ten sposob wszystkich mozliwych rozwiazan tego rownania jest tyle, ile mozliwosci wlozenia miskom kapelusikow.

Stad odpowiedz {n+k \choose k}.

Jesli rozwazamy wszystkie mozliwe k, to wystarczy zastosowac powyzszy wzor dla k=n, czyli wychodzi: {2n \choose k}

Jesli k jest ustalone, to zadanie rozwiazuje sie tak. W odstepy pomiedzy miskami, ktorych jest n-1, wstawiamy k przegrodek. W ten sposob otrzymujemy podzial n miskow na k grup, ktorym przyporzadkowujemy kolejno od lewej liczby x_i. W tym przypadku otrzymujemy wiec odpowiedz: {n-1 \choose k}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 paź 2011, o 19:41 
Użytkownik

Posty: 34
Lokalizacja: z Miasta
Wiem, że odświeżam ale mam podobny problem (to samo zadanie). Dotyczy k ustalonego. Dlaczego bierzemy n-1 a nie n.


A, i czy nie powinno być k-1 ? Przecież za ostatnim miśkiem nie stawiamy przegrody, chyba ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 wrz 2015, o 10:32 
Użytkownik

Posty: 47
Jeśli k jest ustalone, to powinno być {n-1 \choose k-1} Wiem, że odświeżam, ale może komuś się przyda i nie popełni błędu. Zastanawia mnie jedynie, czy da się to jakoś logicznie wytłumaczyć, czy raczej trzeba po prostu zapamiętać, że jeżeli chcemy podzielić n elementów na k niepustych grup, to przydzielamy wartości miejscom między tym elementom i wychodzi, że każdy ze zbiorów jest o jeden mniejszy i podstawiamy do kombinacji bez powtórzeń.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 nierownosc z 5 zmiennymi - ile rozwiazan w l. naturalnych?  Anonymous  25
 równanie z symbolem newtona.  apacz  5
 [zadanie] Rozwiąż równanie  My4tic  1
 równanie - zadanie 4  fishman4  2
 Rozwiąż równanie z silnią  kuzio87  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl