szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2008, o 17:35 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Witam.

Wyznacz resztę z dzielenia liczby 10^{10^{1}} + 10^{10^{2}} + 10^{10^{3}} + \ldots + 10^{10^{10}} \ \text{ przez } \ 7

Jedyne co wiem, to: 10^{10} \equiv 4 (mod7)
Teraz aby sprawdzić następny składnik sumy, musiałbym 4 podnieść do potęgi 10, co wiąże się z wieloma rozpisywaniami, a do sprawdzenia jest jeszcze 8 składników, więc wszystko razem w ten sposób sprawdzane zajęłoby zbyt wiele czasu i miejsca... na pewno jest jakiś sposób, lecz nie wiem jaki :/

Z góry dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2008, o 18:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnij, że 10^k \equiv 4 \ (mod \ 6) \Rightarrow 10^k=6m+4, wówczas dla każdego naturalnego: 10^{10^k}=10^{6m+4} \equiv (10^6)^m \cdot 10^4 \equiv 1^m \cdot 3^4 \equiv 4 \ (mod \ 7), dalej powinieneś sobie poradzić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2008, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Sylwek - hm.... rozumiem, że sprawdzając wyłącznie modulo 7 nie można dojść do wyniku?
Zastanawia mnie również, jak wpaść na sprawdzanie modulo 6... jest to po prostu metoda sprawdzania od modulo 1 wzwyż, aż dojdzie się do reszty, która nie zależy od wartości k?

Sylwek napisał(a):
Udowodnij, że [...]

Czy dowód tutaj wystarczy w stylu sprawdzenia np. pierwszych trzech k i z tego wniosek, że reszta się nie zmienia, czy coś bardziej skomplikowanego? Może indukcja?

Po tym, co napisałeś wyszło mi: 10^{10^{1}} + 10^{10^{2}} + 10^{10^{3}} + \ldots + 10^{10^{10}} \equiv 10 \cdot 4 \equiv 40 \equiv 5 (mod \ 7)
Mam nadzieję, że dobrze :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 paź 2008, o 20:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2643
Lokalizacja: Warszawa
qwertyuiopp napisał(a):
Może indukcja?
Może być, bardziej elegancko pokazać, że 10^{10^k} \equiv 0 \ (mod \ 2) \wedge 10^{10^k} \equiv 1 \ (mod \ 3) (oba straszliwe banały) - z tego wynika, że 10^{10^k} \equiv 4 \ (mod \ 6)

qwertyuiopp napisał(a):
rozumiem, że sprawdzając wyłącznie modulo 7 nie można dojść do wyniku
zwykle nie
qwertyuiopp napisał(a):
Zastanawia mnie również, jak wpaść na sprawdzanie modulo 6... jest to po prostu metoda sprawdzania od modulo 1 wzwyż, aż dojdzie się do reszty, która nie zależy od wartości k
k jest to najmniejsza potęga, że 10^k \equiv 1 \ (mod \ 7)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaz podzielnosc przez 7 - zadanie 2  misio_klb  1
 Reszta z dzielenia - zadanie 37  patry93  2
 Wykaż podzielność przez 30  psych0ma9  10
 Udowodnij podzielność iloczynu 3 kolejnych liczb przez 3  marek252  9
 podzielność przez 3 - zadanie 14  szysza94  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl