szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2008, o 18:15 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Witam, mam problem z zadaniem.
Wykazać, że dla każdego n - naturalnego i x_{1},\ldots ,x_{n} \in \mathbb{R} zachodzi:
\frac{|\sum_{i=1}^{n}x_{i}|}{1 +|\sum_{i=1}^{n}x_{i}|} \leq \sum_{i=1}^{n}\frac{|x_{i}|}{1+|x_{i}|}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 paź 2008, o 18:34 
Użytkownik

Posty: 3911
Lokalizacja: Warszawa
Możemy opuścić wartości bezwzględne i rozpatrywać jedynie dodatnie x_{i}. Sprawdzenie, założenie i teza we własnym zakresie. Dowód:
\sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{1+ x_{i}} + \frac{x_{n+1}}{1+x_{n+1}}  \geqslant \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{1+ \sum_{i=1}^{n} x_{i}} + \frac{x_{n+1}}{1+ x_{n+1}} = 2 - \frac{1}{1 + \sum_{i=1}^{n}x_{i}} - \frac{1}{1+x_{n+1}}  \geqslant 1 - \frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n} x_{i} + x_{n+1}}
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż dla dodatnich liczb zachodzi:
2 - \frac{1}{1+a} - \frac{1}{1+b}  \geqslant 1 - \frac{1}{1+a+b} \\
\frac{1}{1+a+b} +1  \geqslant  \frac{1}{a+1} + \frac{1}{1+b} \ \ \ |\cdot (1+a)(1+b) \\
\frac{1+a+b+ ab}{1+a+b} + 1 + a + b + ab  \geqslant 2 + a + b \\
\frac{ab}{1+a+b} + ab  \geqslant 0
A ta nierówność jest prawdziwa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2008, o 06:38 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Wielkie dzięki.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Uogólniona nierówność Bernoulliego  Anonymous  10
 indukcja matematyczna-nierówność  Qasi  5
 Nierówność-indukcja-jak?  Kaszim  6
 Wykazać podzielność  Undre  4
 nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną, a geometry  ville-dor  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl