Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Podzielność

Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Strona 1 z 1

[ Posty: 13 ]

Autor

Wiadomość

piotrek9299 Offline

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 09:16

Posty: 170
Lokalizacja: Warszawa

Wykaż, że
$\frac{14n+4}{21n+4}$
Jest ulamkiem nieskracalnym
$n \in N$
Oczywiscie, wiem, ze zeby byl nieskracalny to NWD licznika i mianownika musi byc rowne jeden, ale co dalej to nie mam pojecia ;((
Dostalem podpowiedz, zeby udowodnic, ze jesli $a$ i $b$ sa wzglednie pierwsze, to $a - b$ i $b$ tez sa wzglednie pierwsze, ale tego tez nie wiem jak zrobić;/

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

smigol Offline

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 09:26

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa

Co do dowodu, to spójrz 3 tematy niżej...

Góra

mdz

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 09:41

Posty: 40

Niech $NWD(14n+4,21n+4)=d$ , wtedy $d$ dzieli liczbę: $3(14n+4)-2(21n+4)=4$ , ponieważ dodatkowo $d$ jest liczbą nieparzystą, więc $d=1$ , c.k.d.

Góra

piotrek9299 Offline

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 10:47

Posty: 170
Lokalizacja: Warszawa

Skąd się wzięło 3 i 2??

Możesz mi to tak łopatologicznie po kolei wytłumaczyć?

Góra

MagdaW Offline

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 12:15

Posty: 760
Lokalizacja: z Lublina

Jeżeli pomnożymy liczby których NWD wynosi d przez dwie liczby względnie pierwsze różne od dwóch początkowych liczb to NWD tych liczb się nie zmieni. Wybierasz takie liczby, aby można było "skrócić" n

Góra

mdz

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 12:43

Posty: 40

MagdaW napisał(a):

Jeżeli pomnożymy liczby których NWD wynosi d przez dwie liczby względnie pierwsze różne od dwóch początkowych liczb to NWD tych liczb się nie zmieni.

Niestety nie jest to prawdą. W powyższym rozwiązaniu wykorzystałem jedynie fakt, że $d$ dzieli liczbę $3(14n+4)-2(21n+4)$ , jako sumę liczb podzielnych przez $d$ . Dodatkowo, założenie, że $d$ jest $NWD$ tych liczb jest zbędne- wystarczy przyjąć, że jest ich dowolnym wspólnym dzielnikiem. Ponieważ sytuacja taka ma miejsce tylko dla $d=1$ , więc istotnie liczby te są względnie pierwsze.

Góra

MagdaW Offline

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 12:56

Posty: 760
Lokalizacja: z Lublina

$a=dx \wedge b=dy, (x,y)=1$
$ak=dxk \wedge bl=dly, (k, l)=1 \wedge (k, l, x, y)=1 \Rightarrow (kx, ly)=1$
A to jest to, co napisałam. Nie mogę znaleźć błędu. Podaj jakiś kontrprzykład albo napisz, gdzie tkwi błąd. Będę wdzięczna za pomoc.

Góra

piotrek9299 Offline

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 13:21

Posty: 170
Lokalizacja: Warszawa

Dzięki wszystkim.
A daloby sie jakos wykorzystac w rozwiazaniu t\ego zadania podpowiedz ktora dostalem ?;p

Góra

Sylwek Offline

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 14:27

Posty: 2658
Lokalizacja: Warszawa

mdz napisał(a):

ponieważ dodatkowo d jest liczbą nieparzystą

Nie, teza zadania jest fałszywa, wystarczy wziąć np. n=4. Mniemam, że w liczniku zamiast +4 powinno być +3, przedstawię dowód w takiej sytuacji.

piotrek9299 napisał(a):

A daloby sie jakos wykorzystac w rozwiazaniu t\ego zadania podpowiedz ktora dostalem

Owszem, z Algorytmu Euklidesa:
$NWD(21n+4,14n+3)=NWD(21n+4-(14n+3),14n+3)= \\ =NWD(7n+1,14n+3)=NWD(7n+1,14n+3-2(7n+1))= \\ =NWD(7n+1,1)=1$
co należało dowieść.

Góra

piotrek9299 Offline

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 14:47

Posty: 170
Lokalizacja: Warszawa

Dziekuje wszystkim.

Góra

mdz

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 19:29

Posty: 40

Z niewyjaśnionej przyczyny przyjąłem, że $n$ jest nieparzyste, a wtedy teza oraz zaprezentowany dowód są poprawne.

MagdaW napisał(a):

To jest w oczywisty sposób nieprawdziwe, np. $(6,35)=1$ , oraz $(5,3)=1$ , ale $(30,105)=15$ . Trzeba jeszcze założyć, że liczba przez którą mnożysz pierwszą z liczb jest względnie pierwsza z drugą i na odwrót.

Góra

MagdaW Offline

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 22:23

Posty: 760
Lokalizacja: z Lublina

Ja to założyłam (Założyłam nawet trochę za dużo). Przyjrzyj się $(k, l, x, y)=1$

Góra

mdz

Tytuł: Wykazać, że ułamek jest nieskracalny

Napisane: 14 paź 2008, o 23:36

Posty: 40

Z Twojego pierwszego posta-którego sensowność podważyłem- to nie wynikało, więc najwyraźniej trochę nieprecyzyjnie sformułowałaś myśli.

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 13 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Podzielność

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Sprawdz czy liczba jest złożona	Anonymous	6
Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko	pennywise	1
Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4	Anonymous	11
(3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że	basia	2
Wykaż, że liczba jest podzielna przez 33	Anonymous	2

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]