szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2008, o 20:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 835
Lokalizacja: Poznań
Wykaż, że istnieje liczba naturalna dodatnia podzielna przez 2004 i której zapis dziesiętny składa się z samych siódemek i zer.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2008, o 23:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 596
Lokalizacja: Jasło
Weźmy sobie 2004 różne liczby, których cyframi są siódemki (777...777).
Z dzielenia liczby naturalnej przez 2004 otrzymujemy którąś z 2004 reszt: 0,1,2,3,...,2002,2003.
Wsród naszych wybranych liczb możliwe są dwie sytuacje:
I
Wszystkie liczby dają różne reszty.
Wtedy bierzemy tę liczbę, która daje z dzielenia przez 2004 resztę 0 - jest podzielna przez 2004. Możemy sobie do niej dopisac zera (na końcu rzecz jasna) - ile chcemy, bo to nam nie zmieni podzielności przez 2004.
II
Żadna z wybranych liczb nie jest podzielna przez 2004. Ale wtedy któreś dwie dają z dzielenia przez 2004 takie same reszty, co za tym idzie - ich różnica jest podzielna przez 2004 oraz, co ważne, jest postaci 777...777000...000 (odejmijmy od większej liczbę mniejszą).

Tak czy siak, liczba naturalna dodatnia podzielna przez 2004, której cyframi są "siódemki" i "jedynki" istnieje, c.n.d.
Ogólnie w zadaniu korzystaliśmy z ideii zasady szufladkowej Dirichleta. :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2008, o 23:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 835
Lokalizacja: Poznań
enigm32 napisał(a):
Ale wtedy któreś dwie dają z dzielenia przez 2004 takie same reszty

Nie do końca mnie to przekonuje. Nie widzę tego. Można dodatkowe wyjaśnienie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2008, o 13:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 596
Lokalizacja: Jasło
pelas_91 napisał(a):
enigm32 napisał(a):
Ale wtedy któreś dwie dają z dzielenia przez 2004 takie same reszty

Nie do końca mnie to przekonuje. Nie widzę tego. Można dodatkowe wyjaśnienie?


No jasne, że można:
Liczb masz 2004, a różnych reszt 2003 {1,2,3,...,2001,2002,2003}, więc nie ma takiej możliwości, żeby każda z 2004 liczb dawała inną resztę (2004>2003).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 jak udowodnić, czy dana liczba podzielna jest przez 10  christopher  2
 podzielność wyrażenia przez 10  aether  5
 dzielenie zera przez zero  Cromwell  2
 podzielność modulo przez 5  mcmcjj  4
 podzielnosc przez 8  Paul0s  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl