szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2008, o 19:47 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Płock
Witam,

mam problem z następującym zadaniem:

Wykaż podzielność przez 42 dla

n ^{7}-n

oraz

Wykaż podzielność przez 64 dla

3 ^{2n+1}+40n-67

w obu przypadkach n \in N

prosiłbym o jakieś wskazówki i nakierowania.

Pozdrawiam.
Michał.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2008, o 20:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 379
Lokalizacja: Wrocław
bukichu napisał(a):
Witam,

mam problem z następującym zadaniem:

Wykaż podzielność przez 42 dla

n ^{7}-n


n(n^6-1)
n(n^2 -1)(n^4 +n^2 +1)
(n-1)n(n+1)(n^4 + n^2 +1)

Liczba dzieli się przez 42, gdy dzieli się przez 2,3,7. Podzielność przez 2 i 3 jest widoczna w powyższym zapisie(3 kolejne liczby) Musisz jeszcze ładnie opisać, że jak żaden z tych 3 pierwszych czynników nie jest podzielny przez 7 to podzielny będzie ostatni czynnik.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 paź 2008, o 20:39 
Użytkownik

Posty: 760
Lokalizacja: z Lublina
ad.2
Można z indukcji.
Sprawdzamy dla dowolnego n- zgadza się. Możemy więc napisać, że 3 ^{2n+1}+40n-67=64k
Teraz zakładamy prawdziwość dla n+1 i ją udowadniamy:
3 ^{2n+3}+40n+40-67=3 ^{2n+1}+40n-67+8(3 ^{2n+1}+5)=64k+8(3 ^{2n+1}+5)
Teraz wystarczy udowodnić, że wyrażenie w nawiasie jest podzielne przez 8, co można zrobić tak:
...=9 ^{n} \cdot 3+5\equiv1 ^{n} \cdot 3+5(mod   8)\equiv0(mod   8)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2008, o 11:02 
Gość Specjalny

Posty: 2628
Lokalizacja: Warszawa
bukichu napisał(a):
n ^{7}-n


Podzielność przez 7 wynika natychmiast z MTF.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl