szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2005, o 13:23 
Użytkownik

Posty: 48
Lokalizacja: B-n
Udowodnij indukcyjnie:

a)n^{3}
b)n!>n , n>2

Jak to ruszyć? :(
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 16 lis 2005, o 17:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 811
Lokalizacja: Sopot
Podpowiedź: (n+1)!=n!(n+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2005, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 48
Lokalizacja: B-n
założenie:
n!>n^{3}
teza:
(n+1)!>(n+1)^{3}
z Twojej podpowiedzi:
n!(n+1)>(n+1)^{3}
n!>(n+1)^{2}

dowód:
n^{3}>n^{2}+2n+1
n(n-2)(n+1)>1 koniec

dobrze???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2005, o 12:12 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 1910
Lokalizacja: Kraków
Dla n>8. Chyba.

Podobnie jest z drugim.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2005, o 18:49 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Jaka jest największa liczba naturalna n, dla której 30^{n} jest dzielnikiem liczby 2006! ?

Nie miałem tego jeszcze na lekcjach, ale dostałem to zadanie dodatkowo i chciałbym się dowiedzieć jak znaleźć liczbę spełniającą dany warunek. Proszę o odpowiedź z wytłumaczeniem dlaczego tak, a nie inaczej, bo nie miałem tego jeszcze na lekcjach :roll:
Mam nadzieję, że to dobry temat :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2005, o 19:31 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Jelenia Góra
30^n=2^n\cdot 3^n\cdot 5^n
Wystarczy policzyć liczbę piątek występujących w rozkładzie na czynniki liczby 2006!.
Intuicja podpowiada, że trójek i dwójek jest o wiele więcej.
Zatem mamy (część całkowita) [2006/5]=401 liczb podzielnych przez 5.
1. Jest jedna podzielna przez 5^4 (625)
2. [2006/125]-1=16-1=15 podzielnych przez 5^3(bez tej wyżej)
3. [2006/25]-16=80-16=64 podzielnych przez 5^2 (bez tych wyżej)
4. [2006/5]-80=401-80=321 podzielnych przez 5 (bez tych wyżej)
Więc n=4+15*3+64*2+321
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2005, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
soliter napisał(a):
Intuicja podpowiada, że trójek i dwójek jest o wiele więcej.

Dlaczego rozpatrujemy tylko 5? Czy możemy się powołać na intuicję, czy jakoś wykazać, że 2 i 3 nas nie interesują (dlaczego?)? Nie rozumiem wyjaśnienia, że jest ich zawiele. :roll:

Reszta przybliżyła mnie do zrozumienia tego zadania :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2005, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 195
Lokalizacja: Jelenia Góra
Jak wiesz (jak pokazałem), trójek i dwójek w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 30^n będzie tyle samo co piątek. Ale oczywistym jest, że w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 2006! będzie więcej 2 i 3 niż piątek, więc jeśli będzie wystarczająco piątek (w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby 2006! dla danego n przy 30^n), to będzie wystarczająco dwójek i trójek. W końcu co druga liczba w iloczynie 2006! jest podzielna przez 2, co trzecia przez 3, a tylko co piąta przez 5. Zresztą w analogiczny sposób możesz sobie policzyć liczbę owych dwójek i trójek, zobaczysz wtedy, że będzie ich o wiele więcej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 gru 2005, o 09:07 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Warszawa
Dzięki za pomoc 8-) Teraz jest to o wiele "jaśniejsze", niż było wcześniej :wink:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja i nierownosc  bartek1965  2
 Indukcja mat. - zadanie 2  blanco18  2
 Indukcja: nierówność z potęgami  browar25  7
 Indukcja matematyczna - nierówność - zadanie 3  Fajken  1
 Przestrzenie, indukcja  Libertarian  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl