szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 paź 2008, o 16:51 
Użytkownik

Posty: 696
Lokalizacja: marki
w trojkacie mamy czewiany AD,BE,CF oraz \frac{AE}{EB}=\sqrt{\frac{AF}{FB}
wykazac ze \angle BAE= \angle BED
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 paź 2008, o 18:25 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Z tw. Cevy mamy \frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1 co wobec \frac{AE}{EB}=\sqrt{\frac{AF}{FB} daje \frac{AE^2}{EB^2}=\frac{DC}{BD}\frac{EA}{CE} czyli \frac{AE}{EB}=\frac{DC}{BD}\frac{EB}{CE}

z tw. sinusów mamy w skrócie \frac{EB}{CE}\frac{DC}{AD}=\frac{\sin(DAE)}{\sin(DBE)} co z poprzednią równością czyni \frac{AE}{EB}=\frac{AD}{BD}\frac{\sin(DAE)}{\sin(DBE)}

dalej z tw. sinusów mamy \frac{AD}{ED}=\frac{\sin(DEA)}{\sin(DAE)} jak również \frac{ED}{BD}=\frac{\sin(DBE)}{\sin(BED)}

co po wymieszaniu daje \frac{AD}{BD}=\frac{\sin(DEA)}{\sin(DAE)}\frac{\sin(DBE)}{\sin(BED)} mamy również zależność sinusową

\frac{AE}{EB}=\frac{\sin(ABE)}{\sin(BAE)} co daje nam równość \frac{\sin(ABE)}{\sin(BAE)}=\frac{\sin(DEA)}{\sin(BED)} czyli:

2\sin(ABE)\sin(BED)=2\sin(BAE)\sin(DEA)

\cos(ABE+BED)-\cos(ABE-BED)=\cos(BAE+DEA)-\cos\left(ABE-BED\right)

0=\cos(ABE+BED)-\cos(BAE+DEA)=-2\sin(BAE+ABE)\sin\left(BED-BAE\right)

co wymusza: BED=BAE
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2011, o 12:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1388
Lokalizacja: Katowice
Rozważmy styczną do okręgu (ABE) w punkcie E. Niech przecina ona prostą AB w punkcie G (przypadek, kiedy jest ona równoległa do AB jest łatwy) oraz prostą BC w punkcie H. Wówczas:

\frac{BH}{HC}\cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AG}{GB} = 1 - Menelaos

\frac{AF}{FB} = \left( \frac{AE}{EB} \right)^2 = \frac{[AEG]}{[BEG]} = \frac{AG}{GB} - założenie + podobieństwo trójkątów BEG, AEG - proporcje te są zachowane w obu konfiguracjach - gdy G leży bliżej punktu A niż B oraz na odwrót

1 = \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} - Ceva

Z powyższych równości dostajemy \frac{BH}{HC} = \frac{BD}{DC}, tzn. H=D, czyli prosta DE jest styczna do okręgu (ABE), stąd równość \angle BED = \angle BAE
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij równość trygonometryczną.  robin5hood  1
 Tw. odwrotne do tw. Cevy - wysokości trójkąta  kamil13151  1
 równość trójkąta  xxxpatixxx  3
 Równość odcinków - zadanie 2  GeneralXavi  1
 coś z Cevy ...  wilk  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl