szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2008, o 09:04 
Użytkownik

Posty: 657
Lokalizacja: Czewa/Wrocław
Niech f: X \rightarrow  Y będzie bijekcją, a g: Y \rightarrow  X funkcją odwrotną do f. Udowodnij,że f ^{-1}(C) = g(C), dla dowolnego C \subseteq Y
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2008, o 14:52 
Użytkownik

Posty: 3102
Lokalizacja: Zarów
raphel napisał(a):
Niech f: X \rightarrow  Y będzie bijekcją, a g: Y \rightarrow  X funkcją odwrotną do f. Udowodnij,że f ^{-1}(C) = g(C), dla dowolnego C \subseteq Y

Można tak. "Dowód dwustronny"
\Rightarrow \\x \in f ^{-1}(C)   \Rightarrow  ( \exists y \in C \quad y=f(x) ) \Rightarrow  ( \exists y \in C \quad  \ * \ g(y)=g(f ^{-1}(x))  =id _{X}(x)=x ) \ * \   \Rightarrow   x \in g(C) \Rightarrow f ^{-1}(C) \subset g(C) .
\Leftarrow \\x \in g(C) \Rightarrow ( \exists y \in C \quad x=g(y)) \Rightarrow ( \exists y \in C \quad x=f ^{-1}(y)) \Rightarrow x \in f ^{-1}(C) \Rightarrow g(C) \subset f ^{-1}(C).

(f ^{-1}(C) \subset g(C) \wedge g(C) \subset f ^{-1}(C)) \Leftrightarrow  f ^{-1} (C)=  g(C).
Poprawka
*...* - zamiast g(y)=g(f ^{-1}(x))  =id _{X}(x)=x ma być g(y)=g(f (x))  =id _{X}(x)=x.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2008, o 16:34 
Użytkownik

Posty: 657
Lokalizacja: Czewa/Wrocław
Cytuj:
\Rightarrow \\x \in f ^{-1}(C)   \Rightarrow  ( \exists y \in C \quad y=f(x) ) \Rightarrow  ( \exists y \in C \quad g(y)=g(f ^{-1}(x))=id _{X}(x)=x )   \Rightarrow   x \in g(C) \Rightarrow f ^{-1}(C) \subset g(C) .


co to takiego id?? bo w tym miejscu nie wiem za bardzo o co chodzi..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2008, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 3102
Lokalizacja: Zarów
raphel napisał(a):
co to takiego id?? bo w tym miejscu nie wiem za bardzo o co chodzi..

Funkcja tożsamościowa (identycznościowa, przekątniowa itd.). \forall x \in A \quad  id_A(x)=x.
W tym zadaniu mamy z definicji funkcji odwrotnej (albo z jej własności, jeśli jest ona - funkcja odwrotna - wprowadzona inaczej):
f \circ g=id_Y \wedge g \circ f= id_X, czyli \forall y \in Y (f \circ g)(y)=y \wedge \forall x \in X (g \circ f)(x)=x.
Proszę zwrócić uwagę na porawkę, coś mi się źle wkleiło.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 bijekcja i funkcja odwrotna..  raphel  0
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl