szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 7 lis 2008, o 20:38 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Przemyśl
Witam!

Mam problem z dwoma zadaniami. Nie wiem jak za nie się zabrać, więc proszę o szczegółowe wyjaśnienia.

1) Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczba 2n^3+n jest podzielna przez 3.

2) Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba \frac{n^3}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{3} jest liczbą naturalną.


Pierwszego zadania mój móżdżek nie może rozwiązać. Próbowałem przekształcać ten wzór na wszystkie strony lecz nic z tego nie wynikło.

W drugim zadaniu mam jakiś postęp.

Przekształciłem ten wzór na \frac{n^3}{6}+\frac{3n^2}{6}+\frac{2n}{6}.

Wiem, że suma liczb w licznikach musi być podzielna przez 6, więc również przez 3 i 2.

Na tym się zatrzymałem. Nie potrafię udowodnić podzielności przez 3 i 2.

EDIT
Sorki za niedopisanie treści zadania

Z góry dzięki za pomoc
Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 7 lis 2008, o 20:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
2n^{3}+n=n(n^{2}-1)=n(n-1)(n+1)
n-1, n, n+1 trzy kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich jest podzielna przez 3

[ Dodano: 7 Listopada 2008, 20:55 ]
Rozpisuje licznik
n^{3}+3n^{2}+2n=n(n^{2}+3n+2)=n(n+1)(n+2)
n, n+1, n+2 trzy kolejne liczby oraz przynajmniej jedna parzysta
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 7 lis 2008, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Przemyśl
@Nakahed90
W zadaniu pierwszym to jak się pozbyłeś tej dwójki? Mi cały czas wychodzi n(2n^2+1)

@Ateos
Przeglądnąłem kilka tematów oraz wikipedię na temat dowodów indukcyjnych lecz wszędzie bym obcy dla mnie ciąg znaków którego ja nie mam w zadaniach.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 7 lis 2008, o 21:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1101
Lokalizacja: Swarzędz
niestety tak nie możesz zrobić, bo 2n^3+n \neq n^3-n. To tak jakbys napisal 2=1

indukcyjnie przeprowadz dowod (w dziale o tej nazwie masz mnostwo przykladow)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 7 lis 2008, o 21:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 9097
Lokalizacja: Łódź
Sorki, mój błąd.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 8 lis 2008, o 09:31 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Warszawa
Piggy napisał(a):
Witam!

Mam problem z dwoma zadaniami. Nie wiem jak za nie się zabrać, więc proszę o szczegółowe wyjaśnienia.

1) Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczba 2n^3+n jest podzielna przez 3.



Wyciągnij n przed nawias, potem za n podstawiaj 3k, 3k+1 3k+2 (k całkowite) i zobacz co się dzieje.

Cytuj:
2) Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba \frac{n^3}{6}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{3}


Możesz dokończyć treść tego zadania?

Z góry dzięki za pomoc
Pozdrawiam[/quote]
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 9 lis 2008, o 22:49 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Przemyśl
Podstawiłem pod n kolejno 3k, 3k+1 i 3k+2, lecz dalej nic nie widzę. Próbowałem coś z wielokrotnością wykombinować ale nic się z niczym nie wiąże.

Możliwe, że źle liczę i wynik mam zły.
Po podstawieniach wychodzi mi coś takiego:

3k - 54k^3+3k
3k+1 - 54k^3+32k^2+9k+1
3k+2 - 54k^3+72k^2+36k+8
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 9 lis 2008, o 22:59 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Warszawa
Piggy napisał(a):
Podstawiłem pod n kolejno 3k, 3k+1 i 3k+2, lecz dalej nic nie widzę. Próbowałem coś z wielokrotnością wykombinować ale nic się z niczym nie wiąże.

Możliwe, że źle liczę i wynik mam zły.
Po podstawieniach wychodzi mi coś takiego:

3k - 54k^3+3k
3k+1 - 54k^3+32k^2+9k+1
3k+2 - 54k^3+72k^2+36k+8


Mamy

2n^3+n=n(2n^2+1)

Jeśli n=3k, to od razu widać że jest podzielne przez 3. W pozostałych przypadkach n jest niepodzielne przez 3 więc trzeba sprawdzić wyrażenie w nawiasie.

dla n=3k+1

2(3k+1)^2+1=2(9k^2+6k+1)+1=18k^2+12k+2+1=18k^2+12k+3

dla n=3k+2

2(3k+2)^2+1=2(9k^2+12k+4)+1=18k^2+24k+8+1=18k^2+24k+9
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 11 lis 2008, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Przemyśl
Dzięki wielkie. Już rozumie. Czyli to samo mam zrobić z drugim zadaniem tylko na n mam podstawić "3k; 3k+1; 3k+2" oraz "2k; 2k+1; 2k+2" ??
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 11 lis 2008, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 36
Lokalizacja: Zamość
Uzyskałeś juz przeciez odpowiedz do drugiego:

Nakahed90 napisał(a):
Rozpisuje licznik
n^{3}+3n^{2}+2n=n(n^{2}+3n+2)=n(n+1)(n+2)
n, n+1, n+2 trzy kolejne liczby oraz przynajmniej jedna parzysta
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Dwa dowody.
PostNapisane: 11 lis 2008, o 21:01 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Warszawa
Piggy napisał(a):
Dzięki wielkie. Już rozumie. Czyli to samo mam zrobić z drugim zadaniem tylko na n mam podstawić "3k; 3k+1; 3k+2" oraz "2k; 2k+1; 2k+2" ??


Akurat to drugie można zrobić prościej. Przemon już ci dał podpowiedź.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwa dowody. - zadanie 2  laewqq  3
 Dwa dowody. - zadanie 3  lavsprat  1
 Dowody. Podzielność przez 24.  madziomka  1
 Dowody twierdzeń  stars  1
 wyznaczanie par liczb i dowody  ala1609  27
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl