szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2008, o 14:15 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4819
Lokalizacja: Grodzisko Dolne/Kraków
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\lim_{x\to 0} \frac{\tg x}{x} = 1
\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1
\lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1
\lim_{x\to 0} \frac{\hbox{sh } x}{x} = 1
\lim_{x\to 0} \frac{\hbox{th } x}{x} = 1

\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1
\lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a dla a>0
\lim_{x\to \pm\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e
\lim_{x\to \pm\infty} \left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a dla a\in \mathbb{R}
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1
\lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e dla a>0 \land  a\neq 1
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lip 2012, o 20:34 
Moderator

Posty: 10313
Lokalizacja: Gliwice
Często padają pytania o dowody tych granic, warto zatem zamieścić je w tym temacie.

1. \blue\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1

Jest to jedna z najczęściej spotykanych granic. Zależność ta zostanie udowodniona poprzez zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach oraz nierówności: \sin x\le x\le\tg x,\ x\in\left[0,\frac\pi2\right). Nierówność tę można zilustrować rysunkiem:

Obrazek


Ponieważ \frac{\sin x}{x}=\frac{\sin(-x)}{-x}, wystarczy rozpatrzyć wartości dodatnie. Przekształcając:

\sin x\le x\le\frac{\sin x}{\cos x}


Ponieważ \sin x>0 dla x>0, możemy podzielić wszystkie wyrazy nierówności przez \sin x i uzyskać następującą postać:

1\le\frac{x}{\sin x}\le\frac{1}{\cos x}


Biorąc odwrotności, otrzymujemy

1\ge\frac{\sin x}{x}\ge\cos x


Zatem, na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach:

\lim_{x\to0}1\ge\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\ge\lim_{x\to0}\cos x\\ \\ 1\ge\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\ge1\\ \\ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1



2. \blue\lim_{x\to0}\frac{\tg x}{x}=1

Wystarczy zastosować twierdzenie: granica iloczynu jest równa iloczynowi granic, i przekształcić:

\lim_{x\to0}\frac{\tg x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\cdot1=1


3. \blue\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1

Należy zastosować następujące podstawienie: x=\sin t. Wtedy t\to0 i granica przyjmuje postać:

\lim_{t\to0}\frac{\arcsin(\sin t)}{\sin t}


Dla t\in\left[-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right] zachodzi \arcsin(\sin t)=t, zatem granica przyjmuje postać

\lim_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=\lim_{t\to0}\frac{1}{\frac{\sin t}{t}}=\frac{1}{\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}}=\frac{1}{1}=1



4. \blue\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1

Należy zastosować podstawienie x=\tg t. Wtedy t\to0 i granica przyjmuje postać:

\lim_{t\to0}\frac{\arctan(\tg t)}{\tg t}


Dla t\in\left(-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right) zachodzi \arctan(\tg t)=t, zatem granica przyjmuje postać:

\lim_{t\to0}\frac{t}{\tg t}=\lim_{t\to0}\frac{1}{\frac{\tg t}{t}}=\frac{1}{\lim_{t\to0}\frac{\tg t}{t}}=\frac11=1



Najpierw zostaną przedstawione dowody dwóch granic znajdujących się niżej:

5. \blue\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac ax\right)^x=e^a

\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac ax\right)^x=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac ax\right)^{\frac xa}\right)^a

Niech teraz x=at, wtedy t\to\pm\infty i granica przyjmuje postać

\lim_{t\to\pm\infty}\left(\left(1+\frac1t\right)^t\right)^a=e^a

6. \blue\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1

Należy zastosować podstawienie e^x-1=\frac1t. Wtedy x=\ln\left(1+\frac1t\right), ponadto t\to\pm\infty i granica przyjmuje postać:

\lim_{t\to\pm\infty}\frac{1}{t\ln\left(1+\frac1t\right)}=\lim_{t\to\pm\infty}\frac{1}{\ln\left(1+\frac1t\right)^t}=\frac{1}{\ln e}=1


Czyli

\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1



7. \blue\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x}=1

Granicę można przekształcić zgodnie z definicją sinusa hiperbolicznego: \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}:

\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{2x}=\lim_{x\to0}e^{-x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}=1\cdot\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}


Niech teraz 2x=t, wtedy t\to0 i granica przyjmuje postać

\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1



8. \blue\lim_{x\to0}\frac{\tanh x}{x}=1

\lim_{x\to0}\frac{\tanh x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x\cosh x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\cosh x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x}=1\cdot1=1


9. \blue\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a

\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x}=\ln a\cdot\lim_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}

Niech teraz x\ln a=t, wtedy t\to0 i granica przyjmuje postać

\ln a\cdot\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=\ln a\cdot1=\ln a


10. \blue\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e

Jest to definicja liczby Eulera.


11. \blue\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1

\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=\lim_{x\to0}\ln(x+1)^{\frac 1x}

Niech x=\frac1t. Wtedy granica przyjmuje postać

\lim_{t\to\pm\infty}\ln\left(1+\frac1t\right)^t=\ln e=1


12. \blue\lim_{x\to0}\frac{\log_a(x+1)}{x}=\log_ae

\lim_{x\to0}\frac{\log_a(x+1)}{x}=\lim_{x\to0}\log_a(x+1)^{\frac1x}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)^{\frac1x}}{\ln a}=\frac{1}{\ln a}=\frac{1}{\frac{\log_aa}{\log_ae}}=\log_ae



Uwagi proszę zgłaszać na pw.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granice funkcji.  Anonymous  6
 Granice funkcji wielu zmiennych  malgosia  1
 Oblicz granicę funkcji przy x->0  Anonymous  1
 Oblicz granicę - poprawny tok rozumowania?  TheKiler  1
 Granice lewostronne i prawostronne :/  Anonymous  21
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com