szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2008, o 19:25 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Poland
Witam

Proszę o pomoc z tymi zadaniami:

Udowodnij że dla każdej liczby naturalnej n wyrażenie postaci (n^{3}-n)(n^{2}-4) jest wielokrotnością liczby 60.

Suma 2 liczb naturalnych dodatnich wynosi 168, a ich największy wspólny dzielnik równa się 24. znajdź te liczby.

Dzięki za ewentualną pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2008, o 20:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 865
Lokalizacja: Brodnica
A) Na czynniki:
...=(n-1)*n*(n+1)*(n-2)*(n+2)
Mamy pięć kolejnych liczb naturalnych. Jedna podzielna przez 5, jedna przez 4, jedna przez 3. Razem 60.

[ Dodano: 11 Listopada 2008, 20:27 ]
x- pierwsza liczba;
y-druga liczba.

x+y=168
Wiemy, że są one obie podzielne przez 24, więc:
24(x'+y')=168
x"+y"=7
Teraz rozbijamy 7 na sumę dwóch liczb względnie pierwszych i mamy wyniki.
Rozwiązania to:
24 / i / 144
48 / i / 120
72 / i / 96
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2008, o 20:30 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1680
Lokalizacja: Poznań
1.
(n^3-n)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
Czyli jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych. Wśród nich zawsze znajda sie liczby podzielne przez 3,4 i 5. A ponieważ 60=3\cdot 4\cdot 5 to faktycznie liczba (n^3-n)(n^2-4) jest wielokrotnością liczby 60.

2.
Szukane liczby oznaczmy jako a,b. Wiemy, że: a+b=168 oraz, że NWD(a,b)=24. Korzystając z tego możemy zapisać:
a+b=24k+24l=168 \iff k+l=7, gdzie NWD(k,l)=1, zatem:
\begin{cases} k=2 \\ l=5 \end{cases}  \vee 
\begin{cases} k=1 \\ l=6 \end{cases}  \vee 
\begin{cases} k=3 \\ l=4 \end{cases}

I teraz podstawiamy otrzymane przypadki pod a=24k  \wedge b=24l, aby otrzymać szukane liczby.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność sumy liczb do potegi przez sume liczb do potęgi  MenosGrandes  8
 iloczyn liczb jest liczbą która daje resztę dwa przy dzielen  major37  2
 Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb podzielna przez 4  woitush  2
 Udowodnić podzielność. 2006 kolejnych liczb naturalnych.  GluEEE  5
 Wykazanie podzielności przez 10 dla liczb potęgowanych  Ania221  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl