szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2008, o 12:41 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Witam.

Niech n > 3 będzie liczbą naturalną i niech 2^n = 10a_n + b_n, gdzie a_n \ , \ b_n są liczbami naturalnymi, przy czym b_n < 10. Wykaż, że liczba a_n  b_n jest podzielna przez 6.

Więc, potęga dwójki dla n naturalnego jest parzysta oraz wielokrotność 10 też jest liczbą parzystą, więc b_n też musi być liczbą parzystą. Stąd b_n \in \{ 2,4,6,8 \}.
Skoro b_n jest parzyste, więc mamy już podzielność przez 2 i musimy wykazać, że 3 | a_n. Gdy b_n = 6 to sprawa załatwiona, więc zostaje do sprawdzenia 2,4 i 8.
I tutaj zaczynają się dla mnie schody...
Potęga dwójki może przystawać do 1 lub 2 mod3. Liczbę b_n można zapisać jako 2^{x}, gdzie x jest naturalne i jest równe 1, 2 lub 3. Z tego:
2^{n} = 10a_n + 2^x  \equiv a_n + 2^x (mod \ 3)
Tutaj już nie bardzo wiem co robić dalej....

Z góry dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lis 2008, o 09:16 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Warszawa
patry93 napisał(a):
Witam.

Niech n > 3 będzie liczbą naturalną i niech 2^n = 10a_n + b_n, gdzie a_n \ , \ b_n są liczbami naturalnymi, przy czym b_n < 10. Wykaż, że liczba a_n  b_n jest podzielna przez 6.

Więc, potęga dwójki dla n naturalnego jest parzysta oraz wielokrotność 10 też jest liczbą parzystą, więc b_n też musi być liczbą parzystą. Stąd b_n \in \{ 2,4,6,8 \}.
Skoro b_n jest parzyste, więc mamy już podzielność przez 2 i musimy wykazać, że 3 | a_n. Gdy b_n = 6 to sprawa załatwiona, więc zostaje do sprawdzenia 2,4 i 8.
I tutaj zaczynają się dla mnie schody...
Potęga dwójki może przystawać do 1 lub 2 mod3. Liczbę b_n można zapisać jako 2^{x}, gdzie x jest naturalne i jest równe 1, 2 lub 3. Z tego:
2^{n} = 10a_n + 2^x  \equiv a_n + 2^x (mod \ 3)
Tutaj już nie bardzo wiem co robić dalej....

Z góry dziękuję za pomoc.


Musiałbyś udowodnić, że parzyste potęgi 2 dają resztę 1 a nieparzyste resztę 2. Dodatkowo parzyste mają na końcu cyfrę 4 lub 6, a nieparzyste 2 lub 8. Dalej powinieneś sobie poradzić :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lis 2008, o 20:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 666
Lokalizacja: Ustroń
Taki szkic na szybko. Stworzyc sobie dwa ciagi an i bn. Widzimy, ze dla n=4 a=1 i b=6. Dalej widzimy, ze przy kazdej nastepnej potedze 2 te ciagi sie zmieniaja cyklicznie (a konkretnie chodzi o zmienianie an modulo 3). a_1\equiv 1(mod 3) i b_1\equiv 6 (mod 10) i tak rozpisac dla kolejnych... Po tym pewnie bedzie jasne ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielność przez 37 - zadanie 2  gansoo  1
 Podzielność różnicy potęg przez 10  oskaryh  8
 Przy dzieleniu przez 7 liczb a,b,c otrzymujemy reszty 3,4,5  agusSia  1
 Podzielnosc zbioru przez 3  Sandacz89  10
 Podzielność przez 41  szprot_w_oleju  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl