szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lis 2008, o 15:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 84
Wykaż że jeśli suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgi wpisanego w ten trójkąt, to trójkąt ten jest równoboczny.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2008, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 29
promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi trzecią część wysokości tego trójkąta.

r= \frac{1}{3}h
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lis 2008, o 19:18 
Użytkownik

Posty: 324
Lokalizacja: Opole
Arturze, wykazałeś twierdzenie odwrotne - jeśli trójkąt jest równoboczny to suma długości wysokości trójkąta jest 9 razy większa od długości promienia okręgi wpisanego w ten trójkąt, a to nie jest to samo.

a, \ b, \ c - długości boków trójkąta
r - promień okręgu wpisanego
h_{a}, \ h_{b}, \ h_{c} - długości wysokości

2 P = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b} = c \cdot h_{c}

P = \frac{a+b+c}{2} \cdot r  \Rightarrow r = \frac{2P}{a+b+c}

9 \cdot r = \frac{18 \cdot P }{a+b+c}

Założenie:
h_{a} + h_{b} + h_{c} = \frac{18 \cdot P }{a+b+c}
Aby otrzymać tezę musimy uzyskać a = b= c

h_{a} + h_{b} + h_{c} = \frac{18 \cdot P }{a+b+c}
\frac{2P}{a} + \frac{2P}{b} + \frac{2P}{c} = \frac{18P}{a+b+c}
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{9}{a+b+c}
\frac{3}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} } = \frac{a+b+c}{3}

Zauważ, że jest to zależność pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią harmoniczną. Średnie te są równe gdya = b = c.

Stąd trójkąt musi być równoboczny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trojkat rownoboczny - zadanie 7  jumbo  1
 Trójkat równoboczny - zadanie 4  andrzej1973  3
 trójkąt równoboczny - zadanie 18  kometka  1
 Trójkąt równoboczny - zadanie 63  Reebook92  7
 trójkąt równoboczny  Sol  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl