szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 14:55 
Użytkownik

Posty: 348
Lokalizacja: warszawa
Udowodnij nierówności

n^{\frac{n}{2}}

i n>2

prosze o wskazówki jak rozwiązać to zadanie
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 18:47 
Użytkownik

Posty: 324
Lokalizacja: Opole
Tutaj nie trzeba korzystać z indukcji:
(n!) ^{2} = (1*2*...*n) * (n*...*2*1) = (1*n) * (2*(n-1)) * ... * (n*1)  \geqslant n*n*...*n = n^{n}
(n!)^{2}  \geqslant n^{n}
n!  \geqslant n^{\frac{n}{2}}


Z nierówności pomiędzy średnimi:
\sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n} \leqslant \frac{1+2+...+n}{n}
\sqrt[n]{n!}  \leqslant \frac{(1+n) \cdot n}{2n}
n!  \leqslant ( \frac{n+1}{2})^{n}

Dla n>2 nierówności te są ostre.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 19:37 
Administrator

Posty: 22607
Lokalizacja: Wrocław
Tak na marginesie - w obu rozumowaniach jest użyta indukcja, choć w sposób niejawny... :)

Choć oczywiście ze szkolnego punktu widzenia są to dowody "bez indukcji".

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 gru 2008, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 348
Lokalizacja: warszawa
a za pomocą indukcji też dało by się? bo jednak zadanie jest na szkolną indukcje
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Uogólniona nierówność Bernoulliego  Anonymous  10
 indukcja matematyczna-nierówność  Qasi  5
 Nierówność-indukcja-jak?  Kaszim  6
 nierówność pomiędzy średnią arytmetyczną, a geometry  ville-dor  2
 indukcja-wykazac nierownosc  panterman  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl