szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2008, o 14:34 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Witam.

Znaleźć wszystkie funkcje f  : \mathbb{R} \backslash \{ 1 \} \rightarrow \mathbb{R} spełniające dla każdego x  \neq 1 równanie:
(x-1) \cdot f( \frac{x-1}{x+1} ) - f(x) = x


Mianownik z tego co wiem nie może być równy 0 w ułamku, więc z dziedziny funkcji "wyrzucamy" również -1.
Rozwiązywanie takich równań to zazwyczaj podstawianie za 'x' i szukanie zależności, więc niech x=0, mam wtedy:
f(-1) = -f(0)
Teraz podstawiam "niedozwolone" x=1, otrzymuję:
-f(1)  \neq 1

Z tego chyba nie znajdę wszystkich funkcji... coś trzeba pewnie jeszcze podstawić, lecz pomysłu nie mam :/

Z góry dziękuję za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2008, o 21:28 
Użytkownik

Posty: 879
Lokalizacja: Kraków
patry93 napisał(a):
Mianownik z tego co wiem nie może być równy 0 w ułamku, więc z dziedziny funkcji "wyrzucamy" również -1


Niby dlaczego? Jedynie nie możemy podstawić x=-1. Ale nikt nie powiedział że -1 nie należy do dziedziny. Ba, nawet jest napisane, że funkcja prowadzi z R\{1} więc -1 należy do dziedziny.

patry93 napisał(a):
Teraz podstawiam "niedozwolone" x=1, otrzymuję: -f(1)=1


No jak jest zakazane to nie można podstawić :D już nie mówiąc że w treści jest dane, że 1 nie należy do dziedziny, to nie ma za bardzo sensu wyliczanie, jakie wartości moze w tym punkcie przyjmować :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 gru 2008, o 21:45 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Brzytwa - ok, z tą dziedziną to faktycznie :)

Brzytwa napisał(a):
patry93 napisał/a:
Teraz podstawiam "niedozwolone" x=1, otrzymuję: -f(1)=1

Toż to nie cytat, bo ja napisałem
patry93 napisał(a):
-f(1) \neq 1

;)

Brzytwa napisał(a):
to nie ma za bardzo sensu wyliczanie, jakie wartości moze w tym punkcie przyjmować

Możliwe, ja się tam nie znam.... ja tylko kombinuję :)

Nadal czekam na pomysły :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2008, o 02:24 
Użytkownik

Posty: 84
Tam w treści zadania pojawiła się literówka, powinno być:

(x-1)\cdot f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)-f(x)=x.

Powodzenia 17 stycznia ! :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2008, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
koobstrukcja - O, dobrze wiedzieć, choć niestety dużo mi to nie rozjaśniło... :)

koobstrukcja napisał(a):
Powodzenia 17 stycznia ! ;)

Dziękuję, ale i tak wiem, że nic z tego nie wyjdzie... :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 gru 2008, o 14:35 
Użytkownik

Posty: 3921
Lokalizacja: Warszawa
Podstawiasz:
x:= \frac{x+1}{x-1} \\
( \frac{x+1}{x-1} - 1) \cdot f(x) - f(\frac{x+1}{x-1}) = \frac{x+1}{x-1} \ \ |\cdot (x-1) \\
2f(x) - (x-1) f(\frac{x+1}{x-1}) = x+1
Dodaj to stronami z wyjściowym równaniem i otrzymasz:
2f(x) - (x-1)f(\frac{x+1}{x-1}) + (x-1) f(\frac{x+1}{x-1}) - f(x) = x+1 + x \\
f(x) = 2x+1
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie funkcyjne - zadanie 2  przemk20  6
 równanie funkcyjne - zadanie 4  MatizMac  6
 Równanie funkcyjne - zadanie 9  rectussss  5
 równanie funkcyjne - zadanie 13  binaj  2
 Równanie funkcyjne - zadanie 15  Kris-0  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl