szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2008, o 13:38 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Witam.

Dane są liczby naturalne a, b oraz liczba pierwsza p  \geqslant 3. Udowodnić, że jeśli p^4 dzieli liczby a^2 + b^2 \ i \ a(a+b)^2, to dzieli także liczbę a(a+b)

Ok, mam: p^4 | a(a+b)^2, czyli p^4 | a \ lub \ p^4 | (a+b)^2.
Jeśli p^4 | a to tym bardziej p^4 | a(a+b), czyli koniec.
Gdy p^4 | (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab to na mocy p^4 | a^2 + b^2 mam p^4 | 2ab, ale p^4 jest nieparzysta, więc p^4 | ab
Przypadek, gdy p^4 | a już rozpisałem, więc zakładam, że b jest dzielnikiem tej liczby.
p^4 | b \Rightarrow p^4 | b^2
Skoro p^4 | a^2 + b^2 \ to \ p^4 | a^2, zatem
p^4 | a^2 + ab = a(a+b) c.k.d.

Z góry dziękuję za sprawdzenie mojego rozwiązania.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 gru 2008, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 384
Lokalizacja: Wrocław
patry93 napisał(a):

Ok, mam: p^4 | a(a+b)^2, czyli p^4 | a \ lub \ p^4 | (a+b)^2.


Nie zawsze. Przykład
p = 3, a=9, b = 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2008, o 15:44 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Ok, no tak :|

W takim razie wiem, że dzielniki liczby p^4 \ to \ : p^3, p^2, p
Więc p^4 | a(a+b)^2 \Rightarrow p|a \ lub \ p|(a+b)^2
Rozbijam na przypadki
1^{ \circ} \ p|a \\ p|a \Rightarrow p^2 | a^2 \\ p^2 | a^2 \ \wedge \ p | p^4 | a^2 + b^2 \Rightarrow p^2 | b^2 \iff p|b^2 \\ p^4 | (a-b)^2 + 2ab \Rightarrow p^4 | 2ab \Rightarrow p^4 | ab
Nie wiem jak to dalej ugryźć (o ile znów nie popełniłem jakiegoś głupiego błędu) :/

2^{ \circ} \ p| (a+b)^2 \Rightarrow p^2 | (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \\ p^2 | p^4 | a^2 + b^2 \Rightarrow p^2 | 2ab \Rightarrow p^2 | ab
Tutaj też nie wiem jak ruszyć...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 gru 2008, o 16:22 
Użytkownik

Posty: 384
Lokalizacja: Wrocław
Troche sie pogubilam w Twoim rozwiazani, tak na szybko, moze tak:

założmy ze p|a wtedy p^2|a^2 ale tez ma byc p^2|(a^2+b^2) wiec p^2|b^2 stad p|b i odwrotnie, czyli jesli jedno jest podzielne to drugie tez.

Zalózmy ze ani a ani b nie dzialą się przez p. Wtedy p^4|(a+b)^2 , p^4|(a^2+b^2+2ab) wiec 2ab jest podzielne przez p (bo a^2 + b^2 z załozenia jest) i sprzecznosc

Czyli mamy ze a i b podzielne sa przez p

Wtedy a= px i b = py
wiec p^2|x^2+y^2 i p|x(x+y)^2

No i tak na szybko analogiczne rozumowanie wydaje m sie da p|x i p|y, ale sprawdz prosze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2008, o 19:22 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
sigma_algebra1 - w sumie to co Ty napisałaś jest równoważne temu, co ja napisałem post wyżej ;)

sigma_algebra1 napisał(a):
Wtedy a= px i b = py
wiec p^2|x^2+y^2 i p|x(x+y)^2


Skądże ten wniosek? Niech p=3, x=4, y=10, wtedy niby 9|116 co nie jest prawdą...

PS jeśli pogubiłaś się w moim rozwiązaniu to mogę wytłumaczyć krok po kroku, w końcu trzeba sobie pomagać ;) Ja też czekam na pomoc :)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 31 gru 2008, o 20:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1377
Lokalizacja: Katowice
patry93 napisał(a):
Niech p=3, x=4, y=10, wtedy niby 9|116 co nie jest prawdą...



Twoje liczby p=3, x=4, y=10 nie spełniają założenia p^4|a^2+b^2, gdyż wówczas a=12, b=30, a^2+b^2=1044 i p^4=81 nie dzieli 1044.

a dowód sigmy_algebry jest moim zdaniem prawidłowy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 gru 2008, o 20:53 
Użytkownik

Posty: 1251
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Hm.... ok, ale nie rozumiem całej idei wprowadzania x i y... :/
Czy dalej będzie tak:
p | x(x+y)^2, więc p|x i p|(x+y)^2=x^2+y^2+2xy
Ale skoro p^2 | x^2 + y^2 to p^2 | y^2 \Rightarrow p|y
Dobrze?
I teraz z tego mamy p^2 \cdot p = p^3 | a, bo a=px ?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 sty 2009, o 12:43 
Użytkownik

Posty: 384
Lokalizacja: Wrocław
patry93 napisał(a):
p | p^4 | a^2 + b^2


Jak wczoraj to zpbaczylam to juz nie z braku czasu nie wiiedzialam czy cos zguibiles czy tak mam byc, ale czytam to i juz wiem o co chodzi.

No ok wnioski sa podobne, tylko ze zauwaz ze nie skonczles.

Moze to mozna zrobic jakos zgrabniej nie tak w dwóch krokach, ja nie mam na to pomysłu teraz.

A w moim roziwązaniu najpierw jest pokazane ze p|a i p|b.

Ale tylko tyle. Dlatego wprowadzilam a=xp i b=yp.

Teraz podstawiając to za a i b mamy
p^4| p^2(x^2+y^2)
oraz
p^4|p^3x(x+y)^2)

a stad wynika, że
p^2| x^2+y^2
oraz
p|x(x+y)^2

No i dokładnei analogicznie rozumujac jak dla a i b otrzymujemy p|x i p|y.

A stad

p^2|a
i
p^2|b

czyli mamy to co chcieliśmy:
p^4|a(a+b)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 19  Leeq3  2
 Podzielność przez 10 - zadanie 3  skowron6  6
 Udowodnij podzielność wyrażenia  Yorktown  3
 Podzielnosc pierwiastków wielomianiu i kongruencja  fxxn  1
 Czy liczba jest podzielna przez 5?  pawlo392  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl