szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2009, o 08:58 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Funkcję \varphi : N  \rightarrow N zdefiniowaną w nastpujący sposób: \varphi \left(1 \right) =1, zaś jeśli n>1 , to \varphi \left( n \right) oznacza ilość liczb naturalnych, mniejszych od n i względnie pierwszych z n
Poprawne wartości funkcji \varphi to:
A. \varphi \left( 13 \right) =12 to się jeszcze da sprawdzić na piechotę wyszło mi, że poprawne
B. \varphi \left( 32 \right) =16 to też się da na piechotę wyszło mi, że 16.
C.\varphi \left( 104 \right) = 48 no i tutaj jestem w kropce czy jest jakiś szybszy sposób?
D.\varphi \left( 504 \right) = 144
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2009, o 09:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
Dla liczby naturalnej n=\prod_{i=1}^k {p_i}^{\alpha_i}, gdzie p_1,\ldots,p_k są różnymi liczbami pierwszymi występującymi w rozkładzie liczby n, wartość funkcji Eulera wynosi dokładnie:

\varphi(n)=\prod_{i=1}^k (p_i-1){p_i}^{\alpha_i-1}


Inny wzór możesz znaleźć tutaj.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2009, o 10:46 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
A jeżeli w rozkładzie na czynniki powtarza się dany czynnik, to pomijamy go?
Mógłbyś zrobić jakiś przykład, to przeanalizuje i zrozumiem pewnie ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2009, o 11:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1145
Lokalizacja: z Konopii
np. 504=2^3\cdot3^2\cdot7^1

Zatem
\varphi(504)=(2-1)2^{3-1}\cdot (3-1)3^{2-1}\cdot(7-1)7^{1-1}=4\cdot6\cdot6=144
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 maja 2012, o 12:10 
Użytkownik

Posty: 367
Lokalizacja: podkarpacie
Czy możesz jeszcze pokazać jak to zrobić za pomocą tego drugiego wzoru, bo jakos mi to nie wychodzi, co z powtórzeniami?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2012, o 12:21 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Zgodnie z własnością: (a,b)=1  \Rightarrow \varphi (ab) = \varphi (a) \cdot \varphi (b) zapisujemy:

\varphi (504) = \varphi (2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1) = \varphi (2^3) \cdot \varphi (3^2) \cdot \varphi (7).

Teraz ze wzoru \varphi (p^n) = p^n - p^{n-1} piszemy:

\varphi (2^3) \cdot \varphi (3^2) \cdot \varphi (7) = (2^3 - 2^2) \cdot (3^2 - 3^1) \cdot (7^1 - 1) = 4 \cdot 6 \cdot 6 = 144

Skąd ostatecznie \varphi (504) = 144.

Wszystkie wzory, które wykorzystałem, można w bardzo prosty sposób udowodnić.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 maja 2012, o 12:28 
Użytkownik

Posty: 367
Lokalizacja: podkarpacie
Właściwie to chodziło mi o taki wzór:
\varphi(n)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\ldots \left(1-\frac{1}{p_k}\right)
Jak skorzystać z takiego wzoru?
Czy mozesz to pokazać dla n=4232592=2^4\cdot 3^2\cdot 7\cdot 13\cdot 17\cdot 19
Czy tutaj wypisujemy p_1=2, \ p_2=2, \ p_3=2, \ p_4=2, \ p_5=3, \ \ldots itd., czy może p_1=2, \ p_2=3, \ p_3=7, \ \ldots
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2012, o 12:33 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Liczymy bez powtórzeń, czyli u Ciebie będzie to:

p_1=2, \ p_2=3, \ p_3=7, \ p_4 = 13, \ p_5 = 17, \ p_6 = 19

:)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 maja 2012, o 12:39 
Użytkownik

Posty: 367
Lokalizacja: podkarpacie
Ok policzyłam jeszcze raz i teraz faktycznie wychodzi,pewnie wcześniej źle wymnożyłam. Dzięki.
Mam jeszcze jedno pytanie jak w prosty sposób wyznaczyć dzielniki danej liczby, np. 4242331 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2012, o 12:46 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Nie ma raczej żadnego szybkiego algorytmu na szukanie dzielników danej liczby. Pozostaje sprawdzać wszystkie liczby pierwsze nie większe niż \sqrt{4242331}. Ewentualnie można użyć funkcji factor(n) na http://www.wolframalpha.com
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 maja 2012, o 12:51 
Użytkownik

Posty: 367
Lokalizacja: podkarpacie
Dzięki wielkie za stronkę, dzieląc ręcznie doszłam tylko do 101 heh:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl