Zadanie polega na znalezieniu wszystkich rozwiniec funkcji
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{z-1}{\sqrt[3]{z^3-3z^2+3z}}}\) w punkcie \(\displaystyle{ z_0=1}\)
w szereg Laurenta i okresleniu ich obszarow zbieznosci.
Nalezy rozwazyc te galaz pierwiastka, ktora na dodatniej polosi rzeczywistej przyjmuje wartosci rzeczywiste.
Rozwija sie najczesciej albo korzystajac ze "standardowych" szeregow Taylora, albo obliczajac calki ze wzoru Cauchy'ego, co tu bedzie ciezko. Da sie jakos inaczej? Bede wdzieczna za podpowiedz.
Rozwnięcie funkcji w szeregi Laurenta
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10245
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2371 razy
Re: Rozwnięcie funkcji w szeregi Laurenta
Wskazówka: miejsca zerowe wielomianu pod pierwiastkiem tworzą trójkąt równoboczny o środku w \(\displaystyle{ z = 1}\), więc podstawienie \(\displaystyle{ u = z-1}\) mocno uprości wzór funkcji.
- Mlodsza
- Użytkownik
- Posty: 74
- Rejestracja: 25 sty 2010, o 22:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Rozwnięcie funkcji w szeregi Laurenta
Ach, genialnie z tym trojkatem, bardzo dziekuje!
Jesli mozna, jeszcze sie upewnie: beda dwa szeregi: jeden Taylora dla \(\displaystyle{ |z-1|<1}\), a drugi z zerowa czescia regularna na zewnatrz tego kola?
Jesli mozna, jeszcze sie upewnie: beda dwa szeregi: jeden Taylora dla \(\displaystyle{ |z-1|<1}\), a drugi z zerowa czescia regularna na zewnatrz tego kola?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10245
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2371 razy
Re: Rozwnięcie funkcji w szeregi Laurenta
Pierwszy - tak, drugi - nie. Konkretnie:
\(\displaystyle{ \begin{align*}
u \cdot (1+u^3)^{-\frac{1}{3}} & = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{3}}{n} \cdot u^{3n+1} & \text{dla } |u| < 1,\\[2ex]
\left( 1 + \frac{1}{u^3} \right)^{-\frac{1}{3}} & = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{3}}{n} \cdot \frac{1}{u^{3n}} & \text{dla } |u| > 1.
\end{align*}}\)
Część regularna drugiego szeregu nie jest zerowa, ale jest stała.
\(\displaystyle{ \begin{align*}
u \cdot (1+u^3)^{-\frac{1}{3}} & = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{3}}{n} \cdot u^{3n+1} & \text{dla } |u| < 1,\\[2ex]
\left( 1 + \frac{1}{u^3} \right)^{-\frac{1}{3}} & = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{3}}{n} \cdot \frac{1}{u^{3n}} & \text{dla } |u| > 1.
\end{align*}}\)
Część regularna drugiego szeregu nie jest zerowa, ale jest stała.