Równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 430
- Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 2 razy
Równanie
Hej,
mam rozwiązać takie równanie:
\(\displaystyle{ \sin x - \frac{1}{\cos x}=\tg x -1 }\) Robię założenie: \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\) i mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ \cos x}\)
\(\displaystyle{ \sin x \cos x -1 = \sin x - \cos x}\) Podnoszę obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x \cos ^{2} x - 2 \sin x \cos x +1= \sin ^{2} x -2\sin x \cos x + \cos ^{2} x}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x\cos ^{2} x = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x =0 }\) lub \(\displaystyle{ \cos ^{2} x=0}\) Uwzględniając założenie:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x=0}\) Więc wychodzi \(\displaystyle{ x=k \pi }\),
a odpowiedź ma być: \(\displaystyle{ x=2k \pi }\) Dlaczego?
mam rozwiązać takie równanie:
\(\displaystyle{ \sin x - \frac{1}{\cos x}=\tg x -1 }\) Robię założenie: \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\) i mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ \cos x}\)
\(\displaystyle{ \sin x \cos x -1 = \sin x - \cos x}\) Podnoszę obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x \cos ^{2} x - 2 \sin x \cos x +1= \sin ^{2} x -2\sin x \cos x + \cos ^{2} x}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x\cos ^{2} x = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x =0 }\) lub \(\displaystyle{ \cos ^{2} x=0}\) Uwzględniając założenie:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x=0}\) Więc wychodzi \(\displaystyle{ x=k \pi }\),
a odpowiedź ma być: \(\displaystyle{ x=2k \pi }\) Dlaczego?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11536
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3166 razy
- Pomógł: 749 razy
Re: Równanie
równania \(\displaystyle{ a = b }\) i \(\displaystyle{ a^2 =b^2}\) nie są równoważne...Podnoszę obie strony do kwadratu:
-
- Administrator
- Posty: 34427
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22249
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3763 razy
Re: Równanie
Swoją drogą, podnoszenie do kwadratu nie jest najlepszym pomysłem. Dużo lepiej przenieść wszystko na jedną stronę i pogrupować wyrazy.
Ostatnio zmieniony 5 maja 2024, o 17:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 430
- Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Równanie
Ok, rozumiem, więc inną drogą trzeba to rozwiązać.
\(\displaystyle{ \sin x - \frac{1}{\cos x} - \tg x +1=0 }\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin x \cos x -1 -\sin x+ \cos x }{\cos x}=0 }\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos x (1+ \sin x) - (1+\sin x )}{\cos x}=0 }\)
\(\displaystyle{ ( 1+ \sin x )(\cos x -1) = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin x = -1 \vee \cos x =1}\) uwzględniając założenie: \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \cos x =1 \Leftrightarrow x= 2k \pi }\)
\(\displaystyle{ \sin x - \frac{1}{\cos x} - \tg x +1=0 }\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin x \cos x -1 -\sin x+ \cos x }{\cos x}=0 }\)
\(\displaystyle{ \frac{\cos x (1+ \sin x) - (1+\sin x )}{\cos x}=0 }\)
\(\displaystyle{ ( 1+ \sin x )(\cos x -1) = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin x = -1 \vee \cos x =1}\) uwzględniając założenie: \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \cos x =1 \Leftrightarrow x= 2k \pi }\)
-
- Administrator
- Posty: 34427
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Re: Równanie
Raczej można niż trzeba, choć jest to istotnie ładniejsze rozwiązanie.
Uważna analiza Twojego pierwotnego rozwiązania też doprowadziłaby do poprawnej odpowiedzi.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 430
- Rejestracja: 19 mar 2011, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Równanie
W takim razie, chcę dowiedzieć się, co się stanie, gdy równanie \(\displaystyle{ a=b}\) podniesiemy obustronnie do kwadratu.
Jeżeli \(\displaystyle{ a=b}\) to teoretycznie \(\displaystyle{ a ^{2}=b ^{2} }\), wg mnie jest to prawda, znak zawsze będzie dodatni. Problem pojawia się jednak, gdy chcemy z powrotem wrócić do pierwotnego równania i odpierwiastkujemy obustronnie, wtedy pojawia się wartość bezwzględna?
\(\displaystyle{ \left| a\right|=\left| b\right| }\) i w efekcie wychodzi, że \(\displaystyle{ a=b \vee a=-b}\) ?
Dodano po 1 minucie 21 sekundach:
To może powinniśmy zrobić założenie, podnosząc obie strony do kwadratu, \(\displaystyle{ a>0 \wedge b>0}\)?
Jeżeli \(\displaystyle{ a=b}\) to teoretycznie \(\displaystyle{ a ^{2}=b ^{2} }\), wg mnie jest to prawda, znak zawsze będzie dodatni. Problem pojawia się jednak, gdy chcemy z powrotem wrócić do pierwotnego równania i odpierwiastkujemy obustronnie, wtedy pojawia się wartość bezwzględna?
\(\displaystyle{ \left| a\right|=\left| b\right| }\) i w efekcie wychodzi, że \(\displaystyle{ a=b \vee a=-b}\) ?
Dodano po 1 minucie 21 sekundach:
To może powinniśmy zrobić założenie, podnosząc obie strony do kwadratu, \(\displaystyle{ a>0 \wedge b>0}\)?
Ostatnio zmieniony 5 maja 2024, o 22:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: z powrotem.
Powód: Poprawa wiadomości: z powrotem.
-
- Użytkownik
- Posty: 22249
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3763 razy
Re: Równanie
Jak zrobisz takie założenie że to z definicji wykluczyć rozwiązania gdy obie strony są ujemne. To nie jest dobra droga. Chyba że z góry wiesz, że obie strony są dodatnie, np.w równaniu `\sqrt{x}=\sin^2(x-3)`
-
- Użytkownik
- Posty: 48
- Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Równanie
Jak to przeanalizować?Jan Kraszewski pisze: ↑5 maja 2024, o 20:17 Uważna analiza Twojego pierwotnego rozwiązania też doprowadziłaby do poprawnej odpowiedzi.
-
- Administrator
- Posty: 34427
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5218 razy
Re: Równanie
Otrzymany warunek (konieczny) \(\displaystyle{ \sin x=0}\) po zastosowaniu do równania \(\displaystyle{ \sin x - \frac{1}{\cos x}=\tg x -1 }\) prowadzi do równania \(\displaystyle{ - \frac{1}{\cos x}= -1 }\), czyli \(\displaystyle{ \cos x=1.}\)
JK