Matematyka.pl

Czy okrąg jest wykresem funkcji, jeśli tak to jakiej?

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Oczywiście okrąg nie jest wykresem funkcji, a uzasadniłbym to tak, że o ile okrąg nie jest zdegenerowany do punktu, to zawsze w okręgu istnieją argumenty, którym przyporządkowane są dwie wartości (symetryczne względem osi X).

Czy tak jest dobrze?

Istnieje argument, np. \(\displaystyle{ 0}\) (jeśli okrąg jest położony symetrycznie względem początku układu), któremu przypisane są dwie różne wartości, co przeczy definicji funkcji.

Taki żarcik: Niech `S` będzie okręgiem, a `f:S\to\RR` będzie funkcją okresloną wzorem `f(x)=0`. Jej wykresem jest zbiór `S\times{0}`, który jest niewątpliwie okręgiem.

Ale jest Multifunkcją.

mol_ksiazkowy pisze: ↑9 sie 2023, o 09:16 Ale jest Multifunkcją.

JK

A może takie uzasadnienie będzie lepsze:
Każdy okrąg jest opisany równaniem \(\displaystyle{ (x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2}\). A zatem dla argumentu \(\displaystyle{ x=x_s}\) otrzymamy równanie \(\displaystyle{ (y-y_s)^2=r^2}\) czyli \(\displaystyle{ y=r+y_s}\) lub \(\displaystyle{ y=-r+y_s}\), a zatem o ile \(\displaystyle{ r>0}\) (czyli okrąg nie jest zdegenerowany do punktu) dla tego argumentu są dwie wartości zatem to nie może być funkcja.

Czy tak jest dobrze?

Dopóki nie określisz o jakie funkcje chodzi, stworzenie nie jest prawdziwe

No chodzi mi o zbiór \(\displaystyle{ \left\{ (x,y) \in \RR^2: (x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2,x_y,y_s \in \RR,r \in \RR_+ \cup \left\{ 0\right\} \right\} }\), który uważam, że nie jest funkcją z wyżej podanego powodu.

Może tak być?

Dodano po 6 godzinach 51 minutach 7 sekundach:
Podbijam pytanie.

Dodano po 16 godzinach 8 minutach 36 sekundach:
Może się ktoś wypowiedzieć?

Dodano po 23 godzinach 13 minutach 3 sekundach:
Podbijam pytanie.

Okrąg jest funkcją dwóch zmiennych

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 13:25 Okrąg jest funkcją dwóch zmiennych

To dość ciekawe stwierdzenie. Mogłabyś rozwinąć?

JK

To jest funkcja dwóch zmiennych, która przyjmuje jedną wartość i lub ma ograniczoną dziedzinę.

A co do bycia funkcją jednej zmiennej to to jest funkcja uwikłana jednej zmiennej wszędzie poza 4 punktami, czyli jest dobrze.
Może gadam głupoty, ale jestem po analizie 3 czyli po praniu mózgu.

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 14:51 To jest funkcja dwóch zmiennych, która przyjmuje jedną wartość i lub ma ograniczoną dziedzinę.

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 14:51A co do bycia funkcją jednej zmiennej to to jest funkcja uwikłana jednej zmiennej wszędzie poza 4 punktami, czyli jest dobrze.
Może gadam głupoty, ale jestem po analizie 3 czyli po praniu mózgu.

Ale wiesz, jakie było pytanie?

JK

Niepokonana pisze: ↑12 sie 2023, o 14:51
Może gadam głupoty, ale jestem po analizie 3 czyli po praniu mózgu.

Rok akademicki skończył się które czasu temu. Widać że analiza trzyma lepiej niż marihuana

Ok to zapytam jeszcze raz. Ogólnie okrąg to jest zbiór punktów na płaszczyźnie opisany w ten sposób:
\(\displaystyle{ \left\{ (x,y) \in \RR^2: (x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2,x_y,y_s \in \RR,r \in \RR_+ \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ (x_s,y_s)}\) jest środkiem okręgu, a \(\displaystyle{ r>0}\) promieniem. Ten zbiór nie jest funkcją gdyż, na przykład dla argumentu \(\displaystyle{ x=x_s}\) otrzymamy równanie \(\displaystyle{ (y-y_s)^2=r^2}\) czyli \(\displaystyle{ y=r+y_s}\) lub \(\displaystyle{ y=-r+y_s}\), a więc dla tego argumentu \(\displaystyle{ x_s}\) są dwie różne wartości zatem to nie może być funkcja.

Czy takie uzasadnienie jest dobre?

Jeżeli pytasz, czy twój zbiór jest funkcją określoną na `[x_s-r,x_s+r]` o wartościach rzeczywistych, to odpowiedź brzmi "nie" i podałeś poprawny argument.
Natomiast nie jest prawdą, że okrąg nie jest wykresem funkcji. Np. we współrzędnych biegunowych `x=x_s+r\cos\varphi, y=y_s+r\sin\varphi, 0\le\varphi<2\pi` ten okrąg jest wykresem funkcji stałej `g(\varphi)=r`

Ten sam zbiór może być wykresem funkcji i nie być nim. np. parabola jest wykresem funkcji jeśli argumenty będa na osi prostopadłej do jej symetralnej, a nie będzie wykresem funkcji jeżeli argumenty będą na każdej innej prostej.