Matematyka.pl

Mamy następujące funkcje:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x} \ \ , \ \ g(x)=\sqrt{x} \ \ , \ \ h(x)=x^2-1}\)

Czy złożenie \(\displaystyle{ f\circ \left(g\circ h\right)}\) jest funkcją?

Odpowiedź brzmi, że nie. Jednak różne kalkulatory graficzne nie mają problemu z narysowaniem tejże funkcji. Jak to w końcu jest z tym złożeniem?

Funkcja to nie tylko wzorek, ale również dziedzina i przeciwdziedzina. Jeżeli to określisz, to dopiero wtedy będziesz w stanie odpowiedzieć na pytanie.

Ok, czyli dziedziną funkcji jest zbiór liczb nieujemnych, ale istnieje taki argument z tego zbioru (na przykład \(\displaystyle{ x=1}\)) dla którego nie ma wartości funkcji. Czy dobrze rozumuję?

No nie. Każda z tych funkcji ma swoja dziedzinę. Dziedziną funkcji `h` jest `\RR`, dziedziną `g` jest `[0,\infty)`, dziedziną `f` jest \(\displaystyle{ \RR\setminus\{0\}}\).
Żeby złożenie funkcji `g\circ h` miało sens, obraz funkcji `h` musi być podzbiorem dziedziny `g`.
Sprawdź, czy w tym przypadku tak jest.

Oczywiście tak nie jest. Nie rozumiem dlaczego w takim razie moja argumentacja jest błędna.

Nie do końca kojarzę o jakiej argumentacji piszesz. Jeżeli o tym, że programy graficzne rysują bzdury, to jest to bardzo znana przypadłość wielu programów graficznych, albo nieumiejętność interpretacji obrazka. Wolfram akurat rysuje poprawnie.


Jeżeli zaś chodzi o dziedzinę, to dziedziną naturalną złożenia tych trzech funkcji nie jest (jak piszesz) zbiór liczb nieujemnych. Napisz porządnie to złożenie i zobacz dla jakich wartości zmiennej otrzymane wyrażenie ma sens.