Matematyka.pl

Nie wiem czy wybrałem odpowiedni dział, jak nie to przepraszam, ale mam problem z takim równaniem: \(\displaystyle{ f(x) = x^3 - x^2 + 3}\) . Rozwiązuje to metodą Newtona. Chciałbym wiedzieć jak wyliczyć z tego \(\displaystyle{ x}\). Potrzebne jest mi to do narysowania wykresu na który naniose dwie funkcje, odczytam miejsce zerowe i będę mógł skorzystać ze wzoru Newtona (iteracyjnego) do wyliczenia kolejnych wartości. Potrzebuje dwóch wartości \(\displaystyle{ y}\): \(\displaystyle{ y1=?}\) i \(\displaystyle{ y2=?}\). Te wartości musze wyliczyć z tego równania \(\displaystyle{ f(x) = x^3 - x^2 + 3}\) by potem nanieść na wykres funkcje, znaleźć punkt przecięcia na tym wykresie i odczytać miejsce zerowe. Jak to policzyć, bo już troche nad tym siedze i wciąż nie mam rozwiązania

chyba normalnie możesz to wyliczać...

\(\displaystyle{ x = x - f/f' = x - (x^3-x^2+3)/(3x^2-2x)}\)

i teraz zaczynasz;
x = 0 daje: 0 - 3/0, co odpada, bo tam jest ekstremum...

zatem np.: x = 1, wtedy mamy kolejny: x = 1-3 = -2,
ok. jedziesz z tym dalej:
x = -2 - (-8-4+3)/(12-4) = -2 - -9/8 = ...

zero mamy w -1.17455941029298;

a dwa pozostałe są zespolone.

Dodano po 23 godzinach 24 minutach 52 sekundach:
i ogólniej: do wyznaczania zer wielomianów stosujemy zwykle metodę Laguerra, a nie Newtona,
a same rachunki muszą być na zespolonych, bo wszystkie zera wyliczamy: n sztuk dla wielonianu n-tego stopnia.

1. startujemy zawsze w 0 (idziemy od najmniejszych modułów, bo wtedy błędy są najmniejsze)
2. znajdujemy zero, które następnie usuwanym z wielomiany - poprzez deflację, czyli dzielenie
3. deflacja: są tu dwa rodzaje deflacji: zwyczajna - liniowa, i kwadratowa dla zer zespolonych, ponieważ te chdzą parami: z i z sprzężone.

i taką metodą można rozwiązywać dowolnie wielkie wielomiany, np.: \(\displaystyle{ x^{100} + 7x^{54} + ... }\)nie stanowi tu problemu (100 miejsc zerowych!).

Metoda Laguerra jest 3-go rzędu, czyli szybsza od Newtona - 2-go.