Ukryta treść:
Nie wiem czy dobrze zrozumiałem pytanie. Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba naturalną, to przez \(\displaystyle{ s(n)}\) oznaczmy sumę jej cyfr. Przykład: \(\displaystyle{ s(199999999999) = 100}\); - liczba \(\displaystyle{ 199999999999}\) jest najmniejsza liczbą naturalną której suma cyfr wynosi \(\displaystyle{ 100}\). Dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n, m}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ s(n + m) \le s(n) + s(m)}\).
Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy podczas dodawania liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\) nie ma żadnych „przeniesień do pamięci”, tzn. jeśli \(\displaystyle{ n = \sum_{i} n_{i} 10^{i}, \ m = \sum_{i} m_{i} 10^{i}}\) [gdzie \(\displaystyle{ n, \ m}\) są cyframi], to każda suma cyfr \(\displaystyle{ n_{i} + m_{i} }\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ 10}\). Wyszczególniamy zwłaszcza \(\displaystyle{ s(nm) \le ns(m)}\) dla \(\displaystyle{ n,m \in \NN}\).
W zadaniu mamy:
\(\displaystyle{ 800 = s(44n) = s(40n + 4n) \le s(40n) + s(4n) = 2s(4n) \le 8s(n) = 800}\).
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ s(4n) = 400 = s(n) + s(n) + s(n) + s(n)}\). Z tego wnioskujemy, że w dodawaniu \(\displaystyle{ n + n + n + n}\) nie wystąpiło „przeniesienie do pamięci”. Zatem \(\displaystyle{ s(3n) = 3s(n) = 300}\).
\(\displaystyle{ s(n + m) \le s(n) + s(m)}\).
Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy podczas dodawania liczb \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\) nie ma żadnych „przeniesień do pamięci”, tzn. jeśli \(\displaystyle{ n = \sum_{i} n_{i} 10^{i}, \ m = \sum_{i} m_{i} 10^{i}}\) [gdzie \(\displaystyle{ n, \ m}\) są cyframi], to każda suma cyfr \(\displaystyle{ n_{i} + m_{i} }\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ 10}\). Wyszczególniamy zwłaszcza \(\displaystyle{ s(nm) \le ns(m)}\) dla \(\displaystyle{ n,m \in \NN}\).
W zadaniu mamy:
\(\displaystyle{ 800 = s(44n) = s(40n + 4n) \le s(40n) + s(4n) = 2s(4n) \le 8s(n) = 800}\).
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ s(4n) = 400 = s(n) + s(n) + s(n) + s(n)}\). Z tego wnioskujemy, że w dodawaniu \(\displaystyle{ n + n + n + n}\) nie wystąpiło „przeniesienie do pamięci”. Zatem \(\displaystyle{ s(3n) = 3s(n) = 300}\).